Reflexión y transmisión de ondas.

Un movimiento ondulatorio que incide sobre la superficie que separa dos medios de distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc., en parte se refleja y en parte se transmite.

La velocidad de propagación de las ondas cambia al pasar de un medio a otro, pero no cambia la frecuencia angular ω.

Supongamos que un movimiento ondulatorio se propaga a lo largo de dos cuerdas, la cuerda de la izquierda tiene una densidad lineal m₁ y la cuerda de la derecha tiene una densidad lineal m₂.

cuerda.gif (735 bytes)

El movimiento ondulatorio transversal se propaga en ellas con velocidades, respectivamente, de

$v_{1} = \sqrt{\frac{T}{m_{1}}} v_{2} = \sqrt{\frac{T}{m_{2}}}$

Siendo T la tensión de las cuerdas.

Ondas incidente, reflejada y trasmitida

Situamos el origen en el punto de unión de las cuerdas. A la izquierda del origen tenemos una onda armónica incidente cuyo número de onda es k₁ tal que k₁v₁=ω , que se propaga de izquierda a derecha.

Ψ_i=Ψ_0i·sin (ωt-k₁x)

y una onda reflejada que se propaga con la misma velocidad de derecha a izquierda

Ψ_r=Ψ_0r·sin (ωt+k₁x)

Ψ=Ψ₀·sin (ωt-kx) es una forma alternativa de expresar la ecuación de una onda armónica conveniente para este ejemplo.

En la segunda cuerda, tenemos una onda transmitida que se propaga de izquierda a derecha y cuyo número de onda es k₂ tal que k₂v₂=ω .

Ψ_t=Ψ_0t·sin (ω t-k₂x)

A la izquierda del origen, tenemos la superposición de dos movimientos ondulatorios, el incidente más el reflejado, Ψ₁=Ψ _i+Ψ _r

A la derecha del origen, solamente tenemos movimiento ondulatorio correspondiente a la onda transmitida, Ψ₂=Ψ _t

Relación entre las amplitudes de la onda incidente, reflejada y trasmitida

En el punto de discontinuidad o de unión de ambas cuerdas, el origen, x=0, el desplazamiento vale Ψ₁=Ψ₂, es decir

Ψ_0i·sin (ωt)+Ψ_0r·sin (ωt)=Ψ_0t·sin (ωt)

Simplificando

Ψ_0i+Ψ_0r=Ψ_0t

Al estudiar las ondas transversales en una cuerda obtuvimos la expresión de la fuerza vertical F_y en cualquier punto de la cuerda.

$F_{y} = T \frac{\partial Ψ}{\partial x}$

La fuerza Fy en cualquier punto de la cuerda cuando se propaga una onda armónica es

$\begin{array}{l} F_{y} = T (\frac{\partial Ψ_{1}}{\partial x}) = T (\frac{\partial Ψ_{i}}{\partial x} + \frac{\partial Ψ_{r}}{\partial x}) = T k_{1} (- Ψ_{0 i} \sin (ω t - k_{1} x) + Ψ_{0 r} \sin (ω t + k_{1} x)) x < 0 \\ F_{y} = T (\frac{\partial Ψ_{2}}{\partial x}) = T (\frac{\partial Ψ_{t}}{\partial x}) = - T k_{2} Ψ_{0 t} \sin (ω t - k_{1} x) x > 0 \end{array}$

En el origen x=0 se cumple

k₁(-Ψ_0i+Ψ_0r)=-k₂Ψ_0t

Desde el punto de vista matemático decimos, que en el punto de discontinuidad situado en el origen, la función que describe el movimiento ondulatorio debe ser continua y también lo debe ser su derivada primera. Una situación análoga la encontraremos en Mecánica Cuántica al estudiar el escalón de potencial.

Tenemos dos ecuaciones, que nos permiten relacionar la amplitud de la onda reflejada Ψ_0r y transmitida Ψ_0t en términos de la amplitud de la onda incidente Ψ_0i

$Ψ_{0 t} = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}} Ψ_{0 i} Ψ_{0 r} = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}} Ψ_{0 i}$

Expresando el número de onda k₁ y k₂ en términos de las velocidades de propagación respectivas v₁ y v₂

$Ψ_{0 t} = \frac{2 v_{2}}{v_{1} + v_{2}} Ψ_{0 i} Ψ_{0 r} = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{1} + v_{2}} Ψ_{0 i}$

Actividades

En el siguiente applet se representan dos cuerdas unidas en el origen. En la primera región de color blanco, tenemos la superposición Ψ₁ del movimiento ondulatorio incidente, y reflejado dibujados en una línea de color azul. En la segunda región de color rosa, tenemos el movimiento ondulatorio transmitido Ψ₂ dibujado por una línea de color azul. Podemos observar que en el punto de discontinuidad, el origen, la función que describe el movimiento ondulatorio es continua y también su derivada primera.

Asimismo, se representa en la región de la izquierda, el movimiento ondulatorio incidente y reflejado, en los colores que se indican en la parte inferior del applet.

Observamos que la onda transmitida siempre está en fase con la onda incidente. Sin embargo, la onda reflejada puede estar en fase o en oposición de fase dependiendo de que la velocidad de propagación en el segundo medio v₂ sea mayor que en el primero v₁ o al contrario.

Se introduce

La frecuencia del movimiento ondulatorio, en el control de edición titulado Frecuencia. Esta magnitud no cambia al propagarse un mismo movimiento ondulatorio por distintas medios.
La velocidad de propagación de las ondas en el medio1 (a la izquierda), en el control de edición titulado V. medio1
La velocidad de propagación de las ondas en el medio2 (a la derecha), en el control de edición titulado V. medio2

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pulsa el botón titulado Pausa para detener momentáneamente la animación y medir las longitudes de onda de la onda incidente, reflejada y trasmitida. Se pulsa el mismo botón titulado ahora Continua, para proseguir la animación. Se pulsa repetidamente el botón titulado Paso para acercar los nodos de la onda a las divisiones de la regla horizontal, a fin de medir su longitud de onda.

Referencias

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995), págs. 731-733