Formulación discreta de las ecuaciones del movimiento de un cohete.

Un cohete expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es un problema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arroja repetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador o un vehículo propulsado por los proyectiles disparados, que se ha descrito en la sección choques de este capítulo.

Supondremos que el cohete está en el espacio exterior y por tanto, no actúa ninguna fuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

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El cohete tiene una masa M que incluye la carga útil, el combustible y la masa del depósito que lo contiene. Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir, en los instantes 0, Δt, 2·Δt...(n-1) ·Δt, alcanzando la velocidad en v₁, v₂, ....v_n, tal como se muestra en la figura.

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Velocidad del cohete

En el intervalo (0-Δt)

En el instante inicial t=0, expulsa una fracción m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. El cohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v₁. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momento lineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete más el momento lineal del combustible expulsado debe dar cero.

discreto2.gif (1722 bytes) (M-m)v₁+m(-u)=0

$v_{1} = \frac{m \cdot u}{M - m}$

El cohete se moverá con velocidad constante v₁ en el intervalo de tiempo 0-Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante –u.

En el intervalo (Δt-2Δt)

En el instante Δt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v₁-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v₂.

El momento lineal inicial del cohete (M-m)v₁ es igual al momento final del cohete más el de la fracción m del combustible expulsado.

discreto3.gif (1867 bytes) (M-2m)v₂+m(v₁-u)= (M-m)v₁

$v_{2} = v_{1} + \frac{m \cdot u}{M - 2 m} = m u (\frac{1}{M - m} + \frac{1}{M - 2 m})$

El cohete se moverá con velocidad constante v₂ en el intervalo de tiempo Δt -2Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v₁-u.

En el intervalo (2Δt-3Δt)

En el instante 2Δt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v₂-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v₃. Aplicando el principio de conservación del momento lineal, despejamos v₃.

discreto4.gif (1912 bytes) (M-3m)v₃+m(v₂-u)= (M-2m)v₂

$v_{3} = v_{2} + \frac{m \cdot u}{M - 3 m} = m u (\frac{1}{M - m} + \frac{1}{M - 2 m} + \frac{1}{M - 3 m})$

El cohete se moverá con velocidad constante v₃ en el intervalo de tiempo 2Δt -3Δt. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v₂-u.

En el intervalo ((n-1)Δt-nΔt)

En el instante (n-1)Δt, el cohete expulsa la última fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v_n-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v_n.

$v_{n} = m u (\frac{1}{M - m} + \frac{1}{M - 2 m} + .. + \frac{1}{M - n \cdot m}) = m u \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{M - i \cdot m}$

El cohete se moverá con velocidad constante v_n en a partir del instante t=(n-1)Δ t. La última fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v_n-1-u.

Momento lineal

En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)·Δt -i·Δt el momento lineal del cohete es

P_c=(M-i·m)v_i

El momento lineal del combustible expulsado, como podemos comprobar en la primera figura es

P_g=m(-u)+m(v₁-u)+m(v₂-u)+…m(v_i-1-u)

La conservación del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa, exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. P_c+P_g=0.

Energía

La energía final del sistema, es la suma de la energía cinética del cohete E_c con velocidad final v_n, y la energía cinética E_g de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v₁-u), (v₂-u)… (v_n-1-u), respectivamente.

$\begin{array}{l} E_{c} = \frac{1}{2} (M - n \cdot m) v_{n}^{2} \\ E_{g} = \frac{1}{2} m \cdot {(- u)}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n - 1} m {(v_{i} - u)}^{2} \end{array}$

Desplazamiento

El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-Δt) es x₁=v₁·Δt
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (Δt-2Δt), vale x₂=v₂·Δt
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (2Δt-3Δt), vale x₃=v₃·Δt

El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- n·Δt) será

$x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = Δ t \cdot \sum_{i = 1}^{n} v_{i} = Δ t \cdot m u \cdot \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} \frac{1}{M - m \cdot j}$

Del modelo discreto al continuo

El paso del modelo discreto al modelo continuo, que veremos en la siguiente página, implica incrementar el número n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fracción sea cada vez más reducida. En el límite, cuando n tienda a infinito, la masa de cada fracción será una cantidad infinitesimal dm. Vamos a comparar las predicciones del modelo discreto frente a las del modelo continuo.

La masa inicial M es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente que será proporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial M =carga útil+(1+r) ·combustible.

donde r es del orden del 5% ó 0.05.

Tomaremos el intervalo de tiempoΔt =1 s. De modo que, la primera fracción de combustible se expulsa en el instante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y así sucesivamente. El combustible se agota en el instante t=(n-1) s.

Ejemplo 1:

Combustible en el cohete, 9000 kg
Carga útil que transporta, 800 kg.
Número de fracciones, 3.

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s.

La velocidad con la que se expulsa cada una de las fracciones es u=2000 m/s constante respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

$\begin{array}{l} (0 - 1) s v_{1} = 3000 \cdot 2000 \frac{1}{10250 - 1 \cdot 3000} = 827.6 m/s \\ (1 - 2) s v_{2} = v_{1} + 3000 \cdot 2000 (\frac{1}{10250 - 2 \cdot 3000}) = 2239.3 m/s \\ (2 - 3) s v_{3} = v_{2} + 3000 \cdot 2000 (\frac{1}{10250 - 3 \cdot 3000}) = 7039.3 m/s \end{array}$

Intervalo (s)	Masa del cohete (kg)	Velocidad cohete (m/s)	Velocidad del combustible (m/s)
0-1	10250-3000	827.6	-2000
1-2	10250-2·3000	2239.3	827.6-2000
2-3	10250-3·3000	7039.3	2239.3-2000

Desplazamiento del cohete en el intervalo de (0- 3) s es el área bajo la curva escalonada.

x=827.6·1+2239.3·1+7039.3·1=10106.3 m.

Momento lineal final del cohete:

P_c=(10250-3·3000)·7039.3=8799188.6 kg·m/s

Momento lineal final de los gases expulsados:

P_g=3000·(-2000)+3000·(827.6-2000)+3000·(2239.3-2000)=-8799188.6 kg·m/s.

Energía del cohete:

E_c=(10250-3·3000)·7039.3²/2=3.097·10¹⁰ J

Energía de los gases expulsados:

E_g=3000·(-2000)²/2+3000·(827.6-2000)²/2+3000·(2239.3-2000)²/2=8.148·10⁹ J

La energía total necesaria para que el cohete alcance la velocidad final de 7039.3 m/s es la suma de las dos contribuciones.

E= E_c+ E_g=3.912·10¹⁰ J

Modelo continuo.

En la formulación continua, se queman 3000 kg de combustible cada segundo, D=3000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s
Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-3)s es, x=4246 m.

Como vemos hay una gran diferencia entre las predicciones de ambos modelos

Ejemplo 2:

Combustible en el cohete 9000 kg
Carga útil que transporta 800 kg.
Número de fracciones 9.

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/9=1000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, ... t=8 s.

La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo (s)	Masa del cohete (kg)	Velocidad cohete (m/s)	Velocidad del combustible (m/s)
0-1	9250	216.2	-2000
1-2	8250	458.6	216.2-2000
2-3	7250	734.5	458.6-2000
3-4	6250	1054.5	734.5-2000
4-5	5250	1435.5	1054.5-2000
5-6	4250	1906.0	1435.5-2000
6-7	3250	2521.4	1906.0-2000
7-8	2250	3410.3	2521.4-2000
8-9	1250	5010.3	3410.3-2000

El desplazamiento total del cohete en el intervalo (0-9) s es x=16747.4 m

El momento lineal final del cohete es P_c=6262895.8 kg·m/s

El momento lineal final del combustible expulsado es P_g=-6262895.8 kg·m/s

La energía cinética del cohete es E_c=1.57·10¹⁰ J

La energía cinética del combustible expulsado es E_g=7.32 10⁹ J.

La energía total es E= E_c+ E_g=2.30·10¹⁰ J.

Modelo continuo

En la formulación continua, se queman 1000 kg de combustible cada segundo, D=1000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s.
Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-9) s es, x=12740 m.

Los resultados del modelo discreto se van acercando a los del modelo continuo.

Fijarse que en el modelo continuo, la velocidad final del cohete es independiente de D, la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo.

Actividades

Se introduce

El combustible c, en el control de edición titulado Combustible en el cohete
La carga útil que transporta, en el control de edición titulado Carga útil que transporta
El número n de fracciones de combustible de masa m=c/n, que se expulsan a intervalos regulares de tiempo, en el control de edición titulado Número de fracciones
La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete,

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte inferior del applet, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fracciones de combustible expulsados (en color rojo).

En la parte superior izquierda, tenemos un conjunto de tres barras:

La primera, señala el tanto por ciento de combustible (en color blanco) gastado y en color rojo el remanente.
La segunda representa, el momento lineal del cohete (azul) y el momento lineal de los gases expulsados (en rojo), ambos momentos son iguales y de sentido contrario, de modo que el momento lineal total es cero.
La tercera barra, representa la energía: la longitud total de la barra es la energía total disponible, la parte azul corresponde a la energía cinética del cohete, y la parte roja, la energía cinética de las fracciones de combustible expulsadas.

Finalmente, tenemos la representación de la velocidad del cohete en función del tiempo. En color rojo la curva continua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo. En color azul, tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo discreto descrito en esta página.

Probar con diversos valores del número de fracciones, por ejemplo n=3 y compararla con n=9. Veremos cómo a medida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo.

Referencias

Bose S. K.. The rocket problem revisited. Am. J. Phys. 51 (5) 1983, pp. 463-464