Dinámica de un sistema de partículas

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p=mv

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

$F = \frac{d p}{d t}$

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

$F = \frac{d (m v)}{d t} = m \frac{d v}{d t} = m a$

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

$d p = F d t p_{f} - p_{i} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} F d t$

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de t_i a t_f.

choques10.gif (1115 bytes) Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

$d p = F d t p_{f} - p_{i} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} F d t$

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F₁y la fuerza que ejerce la partícula 2, F₁₂. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F₂ y la fuerza que ejerce la partícula 1, F₂₁.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.

choques11.gif (1118 bytes) $\begin{array}{l} \frac{d p_{1}}{d t} = F_{1} + F_{12} \\ \frac{d p_{2}}{d t} = F_{2} + F_{21} \end{array}$

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F₁₂=-F₂₁, tenemos que

$\begin{array}{l} \frac{d p_{1}}{d t} + \frac{d p_{2}}{d t} = \frac{d (p_{1} + p_{2})}{d t} = F_{1} + F_{2} \\ \frac{d P}{d t} = F_{e x t} \end{array}$

Donde P es el momento lineal total del sistema y F_ext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

choques1.gif (1097 bytes) La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F₁₂ que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F₂₁ que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

F₁₂ +F₂₁ =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

$\frac{d p_{1}}{d t} + \frac{d p_{2}}{d t} = \frac{d (p_{1} + p_{2})}{d t} = 0$

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

Donde u₁ y u₂ son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v₁ y v₂ las velocidades finales de dichas partículas.

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

$v_{1} - v_{2} = - e (u_{1} - u_{2})$

choques3.gif (907 bytes)

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.