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Raíces de una ecuación cúbica

Dada la ecuación cúbica

x3+ax2+bx+c=0

Se calcula

Q= a 2 3b 9 R= 2 a 3 9ab+27c 54

 Si R2<Q3 entonces la ecuación tiene tres raíces reales

θ=arccos( R Q 3 ){ x 1 =2 Q cos( θ 3 ) a 3 x 2 =2 Q cos( θ+2π 3 ) a 3 x 3 =2 Q cos( θ2π 3 ) a 3

En caso contrario, R2≥Q3 tenemos una raíz real y dos complejas. La raíz real se calcula del siguiente modo:

A=sgn(R) [ | R |+ R 2 Q 3 ] 1/3 B={ Q/A             A0 0                   A=0 } x 1 =(A+B) a 3

Dada la ecuación cúbica x3-x2-q=0, los coeficientes a=-1, b=0, c=-q

Q= 1 9  R= 227q 54

q( q+ 4 27 )<0

o bien,  4 27 <q<0 , es decir, si q está en el intervalo (qm, 0).

La primera raíz x1 es negativa y se desecha, x2 corresponde a la posición de equilibrio estable y x3 la posición de equilibrio inestable

es decir, cuando q≥0

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