Raíces de una ecuación cúbica

x³+ax²+bx+c=0

Se calcula

$Q = \frac{a^{2} - 3 b}{9} R = \frac{2 a^{3} - 9 a b + 27 c}{54}$

Si R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

$θ = \arccos (\frac{R}{\sqrt{Q^{3}}}) {\begin{cases} x_{1} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ}{3}) - \frac{a}{3} \\ x_{2} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ + 2 π}{3}) - \frac{a}{3} \\ x_{3} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ - 2 π}{3}) - \frac{a}{3} \end{cases}$

En caso contrario, R²≥Q³ tenemos una raíz real y dos complejas. La raíz real se calcula del siguiente modo:

$\begin{array}{l} A = - sgn (R) {[| R | + \sqrt{R^{2} - Q^{3}}]}^{1 / 3} \\ B = {\begin{cases} Q / A A \neq 0 \\ 0 A = 0 \end{cases} \end{array}} x_{1} = (A + B) - \frac{a}{3}$

Dada la ecuación cúbica x³-x²-q=0, los coeficientes a=-1, b=0, c=-q

$Q = \frac{1}{9} R = \frac{- 2 - 27 q}{54}$

La ecuación cúbica tiene tres raíces reales, si se cumple que R²<Q³

$q (q + \frac{4}{27}) < 0$

o bien, $\frac{4}{27} < q < 0$ , es decir, si q está en el intervalo (q_m, 0).

La primera raíz x₁ es negativa y se desecha, x₂ corresponde a la posición de equilibrio estable y x₃ la posición de equilibrio inestable

La ecuación cúbica tiene una raíz real, si se cumple que R²≥Q³

es decir, cuando q≥0