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Presión en el interior de un globo

Un material hecho de goma no se comporta de acuerdo a la ley de Hooke. En esta página, se estudia el comportamiento de un globo inflado con gas He.

Presión en el interior de un globo

Cuando un globo sin deformar de radio r₀ se infla hasta alcanzar un radio r>r₀, la superficie del globo adquiere una energía elástica debido a la deformación. La expresión de la energía elástica cuando el globo se encuentra en un ambiente a la temperatura T es

${\displaystyle U=4\pi r_0^{2}kRT\left(2\frac{r^2}{r_0^2}+\frac{r_0^4}{r^4}-3\right)}$

donde k es una constante en unidades mol/m², R=8.3143 J/(K·mol) es la constante de los gases .

El trabajo necesario para incrementar el radio del globo de r a r+dr bajo la acción de una diferencia de presión ΔP entre el interior P_int y el exterior P_ext es el producto de la diferencia de presión ΔP por el incremento de volumen $dV=d\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi r^{2}dr$

dW=4πr²ΔP·dr

Este trabajo se invierte en incrementar la energía elástica de la superficie del globo.

${\displaystyle \begin{array}{l}dW=\left(\frac{dU}{dr}\right)dr=16\pi kRT\left(r-\frac{r_0^6}{r^5}\right)dr\\ 4\pi r^2\Delta Pdr=16\pi kRT\left(r-\frac{r_0^6}{r^5}\right)dr\\ \Delta P=\frac{4kRT}{r_0}\left(\frac{r_0}{r}-\frac{r_0^7}{r^7}\right)\\ P_{\mathrm{int}}-P_{ext}=\frac{4kRT}{r_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\lambda =\frac{r}{r_0}\end{array}}$

En la figura se muestra la gráfica de la función

${\displaystyle f(\lambda )=\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)}$

La diferencia de presión se incrementa rápidamente con el cociente λ=r/r₀, alcanza un máximo y luego, disminuye como 1/λ para grandes valores de λ.

Obtenemos el extremo de la función, igualando la derivada de la función f(λ) a cero

${\displaystyle \begin{array}{l}-\frac{1}{{\lambda }^2}+7\frac{1}{{\lambda }^8}=0{\lambda }^6=7\\ \lambda =1.383\end{array}}$

Inflando el globo

Inicialmente el globo está en un ambiente a la presión atmosférica P_ext=P₀ y a la temperatura T₀, contiene n₀ moles de gas Helio y su radio es r₀. La presión del gas en el interior del globo es P₀.

La ecuación de los gases ideales es

${\displaystyle P_0\frac{4}{3}\pi r_0^3=n_{0}R{T}_0}$

Conectamos el globo a una bombona de gas que le suministra Δn moles. El número de moles de gas en el interior del globo es n=n₀+Δn. La presión en el interior del globo de forma esférica de radio r es P.

De la ecuación de los gases ideales tenemos que

${\displaystyle \begin{array}{l}P\frac{4}{3}\pi r^3=nR{T}_0=\frac{n}{n_0}{P}_0\frac{4}{3}\pi r_0^3\\ P{\lambda }^3=P_0\frac{n}{n_0}\end{array}}$

Como la diferencia de presión entre el interior y exterior de un globo es

${\displaystyle P-P_0=\frac{4kR{T}_0}{r_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)}$

Combinando estas dos ecuaciones, calculamos el radio λ=r/r₀ del globo

${\displaystyle \frac{n}{n_0}\frac{1}{{\lambda }^3}-1=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)}$

la raíz real del polinomio

${\displaystyle {\lambda }^7+b{\lambda }^6-a{\lambda }^4-b=0a=\frac{n}{n_0}b=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}}$

Una vez calculado λ, por algún procedimiento numérico, la diferencia de presión entre el interior y exterior del globo es

${\displaystyle \Delta P=P_0\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)}$

Ejemplo.

• Presión atmosférica, P₀=101300 Pa
• Temperatura ambiente, T₀=30º=303 K
• Radio inicial del globo r₀=42 cm
• Se ha fijado el valor de la constante k=0.46235

Número de moles iniciales de gas

${\displaystyle P_0\frac{4}{3}\pi r_0^3=n_{0}R{T}_0{n}_0=12.5}$

Cada vez que se conecta la bomba de inyección, el gas contenido en el globo se incrementa en 5 moles.

Para calcular el nuevo radio del globo hay que resolver la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}{\lambda }^7+b{\lambda }^6-a{\lambda }^4-b=0a=\frac{12.5+i·5}{12.5}b=\frac{16\pi ·0.4623·{0.42}^2}{3·12.5}=0.10931i=\mathrm{1,2,3...}\\ \Delta P=101300·0.10931\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)=11073.1\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\text{Pa}\end{array}}$

por algún procedimiento numérico y luego, calcularemos la diferencia de presión ΔP entre el interior y el exterior del globo.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se pulsa el botón titulado Gas

Se inyectan 5 moles de gas en el globo

El programa interactivo calcula el radio r del globo en cm y la diferencia de presión ΔP entre el interior y el exterior del globo en Pa. El manómetro mide la diferencia de presión en cm de agua. Por ejemplo, una diferencia de presión de 4473.3 Pa equivale a

${\displaystyle \frac{\Delta P}{\rho g}=\frac{4473.3}{1000·9.8}=0.4564\text{m}=2·22.8\text{cm}}$

Los pares de datos (r, ΔP) se guardan en el área de texto situado a la izquierda del applet.

Se vuelve a pulsar el botón titulado Gas y se infla el globo con otros 5 moles de gas y así, sucesivamente.

Pulsando el botón titulado Gráfica, observamos la representación de la diferencia de presión ΔP en función del radio r, (en azul) y los datos “experimentales” como puntos de color rojo.

Referencias

Theoretical Question 2. International Physics Olympiad Competition 2004 in South Korea.

Merritt D. R., Weinhaus F. The pressure curve for a rubber balloon. Am. J. Phys. 46 (10) October 1978. pp. 976-977

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García