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Un globo que asciende

Consideremos ahora el caso de un globo que se llena de gas Helio a nivel del mar y se suelta. Vamos a estudiar el movimiento de ascensión del globo.

Inflando el globo

El globo de forma esférica se llena con n moles de gas Helio a nivel del mar donde la presión es P₀ y la temperatura T₀. Si P_int es la presión en el interior del globo

${\displaystyle P_{\mathrm{int}}\frac{4}{3}\pi r^3=nR{T}_0}$

La diferencia de presión entre el interior y el exterior del globo es

${\displaystyle P_{\mathrm{int}}-P_0=\frac{4kR{T}_0}{r_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\lambda =\frac{r}{r_0}}$

El radio del globo a nivel del mar es la raíz de la ecuación

${\displaystyle {\lambda }^7+b{\lambda }^6-a{\lambda }^4-b=0a=\frac{n}{n_0}b=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}}$

Variación de la presión con la altura en una atmósfera lineal

Supondremos que la temperatura T disminuye linealmente con la altura y.

${\displaystyle T=T_0\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}$

La variación de la presión con la altura se ha estudiado en la página titulada “Modelos simples de atmósfera”. Volvemos a deducirla a partir de la ecuación fundamental de la estática de fluidos

dP=-ρg·dy

junto a la ecuación de los gases ideales

${\displaystyle PV=\frac{m}{M_A}RTP=\frac{\rho }{M_A}RT}$

donde M_A=0.0289 kg/mol es el masa molecular del aire.

${\displaystyle \begin{array}{l}dP=-P\frac{M_{A}g{y}_0}{R{T}_0}\frac{1}{y_0-y}dy\\ {\displaystyle \underset{P_0}{\overset{P}{\int }}\frac{dP}{P}}=-\frac{M_{A}g{y}_0}{R{T}_0}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{1}{y_0-y}dy}\\ \ln \frac{P}{P_0}=\eta \left(\ln \left(y_0-y\right)-\ln y_0\right)\eta =\frac{M_{A}g{y}_0}{R{T}_0}\\ P=P_0{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta }\end{array}}$

A medida que el globo asciende la diferencia de presión entre el interior y el exterior aumenta y por tanto, el radio del globo cambia.

A una altura y la presión es P y la temperatura es T. Para calcular el nuevo radio del globo utilizamos ecuaciones similares a las empleadas para calcular el radio del globo a nivel del mar.

${\displaystyle \begin{array}{l}{P}_{\mathrm{int}}\frac{4}{3}\pi r^3=nRT\\ P_{\mathrm{int}}-P=\frac{4kRT}{r_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\lambda =\frac{r}{r_0}\end{array}}$

Obtenemos la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{3nR{T}_0\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}{4\pi r^3}-P_0{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta }=\frac{4kR{T}_0\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}{r_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\\ \frac{n}{n_0}\frac{P_0}{{\lambda }^3}\left(1-\frac{y}{y_0}\right)-P_0{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta }=\frac{16\pi k{P}_0{r}_0^2}{3n_0}\left(1-\frac{y}{y_0}\right)\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\\ \frac{n}{n_0}\frac{1}{{\lambda }^3}-{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^7}\right)\\ {\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}{\lambda }^7+b{\lambda }^6-a{\lambda }^4-b=0a=\frac{n}{n_0}b=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}\end{array}}$

Resolviendo esta ecuación obtenemos el radio r del globo a una altura y.

Cuando y=0 al nivel del mar obtenemos la ecuación de la página anterior.

Equilibrio

Supongamos que la masa del globo, incluyendo el gas y el lastre es M.

El globo detiene su ascensión cuando el peso se equilibra con el empuje.

El empuje es el peso del aire desalojado por el globo

${\displaystyle \begin{array}{l}E={\rho }_{aire}g\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{M_{A}P}{RT}g\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{M_A{P}_0}{R{T}_0}{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}g\frac{4}{3}\pi r^3\\ E=M_A{n}_{0}g{\lambda }^3{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}\end{array}}$

En el equilibrio el peso es igual al empuje, Mg=E.

Combinado la ecuación que obtiene el radio del globo a una altura y con la ecuación de equilibrio a dicha altura.

${\displaystyle \begin{array}{l}M=M_A{n}_0\frac{b+a{\lambda }^4-b{\lambda }^6}{{\lambda }^7}\\ b{\lambda }^6+\left(\frac{M}{M_A{n}_0}-a\right){\lambda }^4-b=0\\ x^3+\frac{1}{b}\left(\frac{M}{M_A{n}_0}-a\right)x^2-1=0x={\lambda }^2\end{array}}$

Una vez obtenido λ=r/r₀, se despeja la altura máxima y en la primera ecuación.

Ejemplo:

• Presión atmosférica a nivel del mar (y=0), P₀=101300 Pa
• Radio inicial del globo, r₀=42 cm
• Se ha fijado el valor de la constante k=0.46235

Número de moles iniciales de gas

${\displaystyle P_0\frac{4}{3}\pi r_0^3=n_{0}R{T}_0{n}_0=12.5}$

• Se llena el globo con n=45 moles de gas Helio
• El peso del globo incluyendo el gas y el lastre es de M=1.12 kg
• M_A=0.0289 kg/mol es el masa molecular del aire.
• Para ajustar la dependencia lineal de la temperatura T con la altura y un determinado día del año, se toma T₀=303 K a nivel del mar e y₀=49 km=49000 m

Se suelta el globo. Calcular la altura máxima que alcanza

Tenemos que resolver la ecuación cúbica

${\displaystyle x^3+\frac{1}{b}\left(\frac{M}{M_A{n}_0}-a\right)x^2-1=0x={\lambda }^{2}a=\frac{n}{n_0}b=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}}$

Con los datos suministrados,

x³-4.57047x²-1=0

esta ecuación tiene una raíz real y dos complejas conjugadas. Utilizando la calculadora para realizar las operaciones indicadas en la página titulada “Raíces de una ecuación cúbica” obtenemos la solución real x=4.6174, o bien, λ=2.1488.

La altura y la calculamos a partir de la ecuación

${\displaystyle {\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}=\frac{b+a{\lambda }^4-b{\lambda }^6}{{\lambda }^7}\eta =\frac{M_{A}g{y}_0}{R{T}_0}}$

obtenemos y=11143 m

Movimiento del globo hasta alcanzar la máxima altura

Las fuerzas sobre el globo son:

• El peso, Mg
• El empuje, E
• La fuerza de rozamiento F_r proporcional al cuadrado de la velocidad.

Supondremos que en todo momento las tres fuerzas se equilibran, el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad límite es muy pequeño partiendo de una velocidad muy próxima.

La constante de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento es

${\displaystyle \frac{\rho A\delta }{2}}$

•  ρ es la densidad del aire que cambia con la altura y.
• A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, para una esfera A=πr²
• δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto, para una esfera δ=0.4

La ecuación del movimiento es

E-Mg-F_r=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{M}_A{n}_{0}g{\lambda }^3{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}-Mg=0.2\frac{M_A{P}_0}{R{T}_0}{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}\pi r^2{v}^2\\ M_A{n}_{0}g{\lambda }^3{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}-Mg=0.3\frac{M_A{n}_0}{2r_0}{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}{\lambda }^2{v}^2\end{array}}$

Hay que resolver la ecuación diferencial de primer orden, con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, y=0, parte del nivel del mar.

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sqrt{\frac{20}{3}g{r}_0\left\{\lambda -\frac{M}{M_A{n}_0}\frac{1}{{\lambda }^2}{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{1-\eta }\right\}}}$

Para cada valor de y hay que calcular el radio r del globo o bien, el cociente λ=r/r₀ resolviendo la ecuación.

${\displaystyle {\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}{\lambda }^7+b{\lambda }^6-a{\lambda }^4-b=0a=\frac{n}{n_0}b=\frac{16\pi k{r}_0^2}{3n_0}\eta =\frac{M_{A}g{y}_0}{R{T}_0}}$

Ejemplo:

• Se llena el globo con n=45 moles de gas Helio

Calcular la velocidad inicial del globo, cuando y=0.

Con el programa interactivo de la página anterior, podemos calcular el radio inicial del globo a nivel del mar.

λ=1.50, r=63.0 cm

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{20}{3}9.8·0.42\left\{1.5-\frac{1.12}{0.0289·12.5}\frac{1}{{1.5}^2}\right\}}=1.83\text{m/s}}$

Actividades

Se introduce

• La masa M del globo incluyendo el gas y el lastre, en el control de edición titulado Masa
• El número n de moles de gas con el que se infla el globo, en el control de edición titulado Número de moles.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Si el empuje es mayor que el peso el globo asciende. Sobre el globo también actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad que mantiene en todo momento el globo en equilibrio, (la aceleración es nula). Sin embargo, la velocidad cambia debido a que el empuje cambia con la altura del globo.

En el applet observamos:

En la parte izquierda, la variación de la presión con la altura,

${\displaystyle P=P_0{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta }}$

se suministra el dato de la temperatura en grados centígrados.

${\displaystyle T=T_0\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}$

Una franja de color rojo, nos indica que la densidad del aire disminuye con la altura, el color rojo oscuro indica aire más denso y el color rojo claro aire menos denso.

${\displaystyle \rho ={\rho }_0{\left(1-\frac{y}{y_0}\right)}^{\eta -1}}$

En la franja se mueve el globo y se muestran mediante flechas las fuerzas que actúan sobre el mismo:

• Peso, en color negro
• El empuje, en color rojo
• La fuerza de rozamiento, en color azul

En la parte superior derecha del applet, se muestra el globo, como se incrementa su radio a medida que asciende.

En la parte inferior derecha, se representa la velocidad del globo en función de la altura.

Observamos que la velocidad se mantiene casi constante e igual a la velocidad inicial durante casi todo el trayecto de ascensión y disminuye rápidamente, en las proximidades de la altura máxima que alcanza.

paracaidistaApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Theoretical Question 2. International Physics Olympiad Competition 2004 in South Korea.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García