Descenso de un paracaidista

En las dos páginas anteriores, hemos estudiado el movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido en régimen laminar (la fuerza de rozamiento era proporcional a la velocidad). Ahora, estudiaremos el movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido en régimen turbulento (la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad).

Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme

Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, y las ecuaciones del movimiento son las estudiadas en la página caída de los cuerpos.

Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Caída libre antes de la apertura del paracaídas

El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo. Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño.

Las ecuaciones del movimiento serán

$a = - g v = - g t x = x_{0} + \frac{1}{2} (- g) t^{2}$

Cuando se ha abierto el paracaídas

El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

ma=-mg+kv²

La constante de proporcionalidad $k = \frac{ρ A δ}{2}$

ρ es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m³.
A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire,
δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto

En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetos

Forma del objeto	Valor aproximado de δ
Disco circular	1.2
Esfera	0.4
Avión	0.06

Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores dados para estas dos formas en la tabla, es decir, δ=0.8.

Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constante v_l, que se obtiene cuando el peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la aceleración es cero.

-mg+kv²=0

El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en las figuras.

$v_{l} = \sqrt{\frac{m g}{k}}$

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de la forma

$\frac{d v}{d t} = - g + \frac{k}{m} v^{2}$

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en cualquier instante t. Las condiciones iniciales son: v₀ es la velocidad del paracaidista en el instante t₀ en el que abre el paracaídas.

$\int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{- g + \frac{k}{m} v^{2}} = \int_{t_{0}}^{t} d t$

Para integrar se hace el cambio v=z·v_l.

$\frac{v_{l}}{g} \int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{z^{2} - 1} = \frac{v_{l}}{2 g} (\int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{z - 1} - \int_{z_{0}}^{z} \frac{d z}{z + 1} - = \frac{v_{l}}{2 g} \ln \frac{(z - 1) (z_{0} + 1)}{(z + 1) (z_{0} - 1)})$

Se deshace el cambio y se despeja v en función del tiempo (t-t₀), Se llega después de algunas operaciones a la expresión.

$v = - v_{l} \frac{(v_{0} - v_{l}) \exp (\frac{g}{v_{l}} (t - t_{0})) + (v_{0} + v_{l}) \exp (\frac{- g}{v_{l}} (t - t_{0}))}{(v_{0} - v_{l}) \exp (\frac{g}{v_{l}} (t - t_{0})) - (v_{0} + v_{l}) \exp (\frac{- g}{v_{l}} (t - t_{0}))}$

Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la velocidad, haciendo un cambio de variable

$\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v$

La ecuación del movimiento se transforma en

$v \frac{d v}{d x} = g - \frac{k}{m} v^{2}$

Que se puede integrar de forma inmediata

$\int_{v_{0}}^{v} \frac{v d v}{g - \frac{k}{m} v^{2}} = \int_{x_{0}}^{x} d x$

La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es

$x - x_{0} = \frac{v_{l}^{2}}{2 g} \ln \frac{v^{2} - v_{l}^{2}}{v_{0}^{2} - v_{l}^{2}}$

Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista.

$v^{2} = v_{l}^{2} + (v_{0}^{2} - v_{l}^{2}) \exp (- \frac{2 g}{v_{l}^{2}} (x - x_{0}))$

Actividades

Se introduce

La masa m del paracaidista en el control de edición titulado Masa del paracaidista
El área del paracaídas en el control de edición titulado Área del paracaídas

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pulsa el botón titulado Abre paracaídas para que el paracaidista frene su caída libre al abrir el paracaídas.

El círculo rojo representa al paracaidista en caída libre, el mismo círculo rodeado de un contorno de color azul indica que ha abierto el paracaídas. Se representa las fuerzas sobre el móvil:

En color rojo, la fuerza constante del peso.
En color azul, la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Cuando ambas flechas son iguales, la velocidad del paracaidista es constante e igual a la velocidad límite. Observar que la velocidad límite es independiente de la altura a la que abre el paracaídas.

Para determinar la dependencia del valor final de la velocidad con el peso del paracaidista y el área del paracaídas.

Se mantiene constante el peso del paracaidista, incrementando el área del paracaídas
Se mantiene constante el área del paracaídas, incrementando el peso del paracaidista.

Ejemplo:

Masa del paracaidista de m=72 kg,
Área del paracaídas A=0.6 m²
El paracaidista parte del reposo desde la posición x₀=2000 m
Abre el paracaídas en la posición x=1000 m, sobre el suelo.

Calcular la velocidad con la que llega al suelo

Los datos para calcular la velocidad límite v_l son:

Densidad del aire ρ=1.29 kg/m3
Coeficiente de forma δ =0.8

$k = \frac{1.29 \cdot 0.6 \cdot 0.8}{2} v_{l} = \sqrt{\frac{72 \cdot 9.8}{k}} = 47.7 m/s$

Aplicando las ecuaciones de caída de los cuerpos, calculamos la velocidad cuando el paracaidista alcanza la posición x=1000 m

1000=2000-9.8·t²/2
v=-9.8·t

v=-140 m/s

Esta es la velocidad inicial para la siguiente etapa del movimiento, v₀=-140 m/s en la posición x₀=1000 m

La velocidad del paracaidista en la posición x=0, cuando llega al suelo, es

$v^{2} = {47.7}^{2} + (140^{2} - {47.7}^{2}) \exp (- \frac{2 \cdot 9.8}{{47.7}^{2}} (1000 - 0))$

v=-47.7 m/s

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