Descenso de un paracaidista en una atmósfera no uniforme

Descenso de un paracaidista en una atmósfera no uniforme.

Habremos comprobado que un paracaidista que abre el paracaídas en la posición de partida, su velocidad va creciendo con el tiempo hasta que alcanza la velocidad límite constante.

Vamos a comprobar que en una atmósfera no uniforme el comportamiento es más complejo. La velocidad del paracaidista va creciendo hasta alcanzar una velocidad máxima y luego, decrece hasta que llega al suelo.

Variación de la presión con la altura

En una atmósfera isotérmica, la variación de la presión en función de la altitud x está dada por la ley de Laplace.

$P = P_{0} \exp (\frac{- M g x}{k T})$

P₀ es la presión de la atmósfera a nivel del mar
M es el peso molecular del aire 28.8 g/mol=0.0288 kg/mol
g es la aceleración de la gravedad
k=1.3805·10^-23 J/K es la constante de Boltzmann
T es la temperatura de la atmósfera en kelvin
N_A=6.0225·10²³ es el número de Avogadro, número de moléculas que caben en un mol

Aunque la atmósfera no es isotérmica, la variación de presión con la altura se puede aproximar a una exponencial decreciente, para una temperatura efectiva de 254 K.

$P = P_{0} \exp (\frac{- 0.0288 \cdot 9.8}{6.0225 \cdot 10^{23} \cdot 1.3805 \cdot 10^{- 23} \cdot 254} x) = P_{0} \exp (\frac{- x}{7482.2})$

donde P₀= 1 atm es la presión a nivel del mar. La presión a una altura de x=10000 m es de solamente 0.26 atm.

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento es

$m \frac{d v}{d t} = - m g + k_{0} v^{2} \exp (\frac{- x}{λ})$

Ques se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: t=0, x=x₀, (dx/dt)=0

Podemos escribir esta ecuación de forma alternativa

$m v \frac{d v}{d x} = - m g + k_{0} v^{2} \exp (\frac{- x}{λ})$

Donde k₀ es el valor de la constante de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento, al nivel del mar, donde la presión es P₀, y la constante λ=7482.2.m^-1.

Esta ecuación admite una solución en términos de una serie infinita, véase el artículo citado en las referencias. El programa interactivo la resuelve por procedimientos numéricos.

Máxima velocidad alcanzada por el paracaidista.

Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo y luego, la velocidad disminuye hasta que llega al suelo.

Cuando se alcanza la máxima velocidad dv/dx=0. La relación entre la velocidad máxima v_m y la altura x_m a la que se produce es

$v_{l}^{2} = v_{m}^{2} \exp (\frac{- x_{m}}{λ})$

donde v_les la velocidad límite que alcanzaría un paracaidista en una atmósfera uniforme.

$v_{l} = \sqrt{\frac{m g}{k_{0}}}$

Se puede calcular x_m, por procedimientos numéricos si disponemos de la solución analítica v=v(x) que por su complejidad omitimos en esta página.

Ejemplo:

Masa del paracaidista de m=72 kg,
Área del paracaídas A=0.6 m²
El paracaidista parte del reposo desde la posición x₀=30000 m

La velocidad límite v_l que alcanzaría el paracaidista en una atmósfera uniforme es

$v_{l} = \sqrt{\frac{m g}{k_{0}}} k_{0} = \frac{1.29 \cdot A \cdot 0.8}{2}$

v_l=47.7 m/s

Observamos que a la altura de x_m=23996 m se alcanza la máxima velocidad. De la ecuación que relaciona x_m y v_m obtenemos v_m.

$v_{l}^{2} = v_{m}^{2} \exp (\frac{- x_{m}}{λ}) 47 {.7}^{2} = v_{m}^{2} \exp (\frac{- 23996}{7482.2})$

v_m=237.3 m/s

El programa interactivo nos proporciona el valor v_m=238.5 m/s

Actividades

Se introduce

La masa m del paracaidista en el control de edición titulado Masa
El área del paracaídas en el control de edición titulado Área
La altura (en km) desde la que se lanza el paracaidista, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El paracaidista abre el paracaídas desde la posición de partida.

En la parte izquierda del applet, se representa la presión del aire en función de la altura, de acuerdo con el modelo de atmósfera isoterma.

A continuación, observamos el movimiento del paracaidista sobre un fondo de color que representa la presión en función de la altura en una escala de intensidades de color rojo. Al color blanco, le corresponde la presión nula, y al color rojo, la presión a nivel del mar.

Finalmente, en la parte derecha, se representa la velocidad del paracaidista en función de la altura. En realidad, se representa

En el eje horizontal 1-x/x₀, donde x₀ es la altura de lanzamiento
En el eje vertical v/v_l, donde v_l es la velocidad límite constante que alcanza el paracaidista en la atmósfera uniforme.

Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo. La velocidad disminuye y alcanza un valor próximo a v_l cuando llega al suelo, en la gráfica al valor v/v_l=1.

Se sugiere al lector que represente en un papel, las alturas a las que el paracaidista alcanza la velocidad máxima x_m en función de la posición inicial de partida x₀. Usar los botones Pausa/Continua y Paso para acercarse a la posición x_m.

paracaidistaApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Mohazzabi P. High-altitude free fall. Am. J. Phys. 64 (10) October 1996, pp. 1242-1246