Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad

Como la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo. Por tanto, tenemos que plantear las ecuaciones del movimiento en dos etapas, cuando el cuerpo asciende y cuando el cuerpo desciende.

Movimiento vertical hacia arriba

$m \frac{d v_{↑}}{d t} = ρ_{f} \frac{4}{3} π R^{3} g - ρ_{e} \frac{4}{3} π R^{3} g - 0.2 ρ_{f} π R^{2} v_{↑}^{2}$

Se puede escribir de una forma más simple, de la forma

$\frac{d v_{↑}}{d t} = - G (1 + γ^{2} v_{↑}^{2}) G = (1 - \frac{ρ_{f}}{ρ_{e}}) g γ = \sqrt{0.15 \frac{ρ_{f}}{ρ_{e} R G}}$

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v₀.

$\begin{array}{l} \int_{v_{0}}^{v_{↑}} \frac{d v_{↑}}{1 + γ^{2} v_{↑}^{2}} = - G \int_{0}^{t} d t \\ {\frac{1}{γ} \arctan (γ v_{↑}) |}_{v_{0}}^{v_{↑}} = - G t \\ v_{↑} = \frac{1}{γ} \tan (- γ G t + \arctan (γ v_{0})) \end{array}$

Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.

$\begin{array}{l} x_{↑} = \int_{0}^{t} v_{↑} d t = \int_{0}^{t} \frac{1}{γ} \tan (- γ G t + \arctan (γ v_{0})) d t = \\ \int \tan u \cdot d u = - \ln \cos u + C \\ x_{↑} = {\frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cos (- γ G t + \arctan (γ v_{0}))) |}_{0}^{t} = \frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cos (- γ G t + \arctan (γ v_{0}))) - \frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cos (\arctan (γ v_{0}))) = \\ \frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cos (- γ G t + \arctan (γ v_{0}))) + \frac{1}{γ^{2} G} \ln \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}} \end{array}$

Tiempo de ascenso y altura máxima alcanzada

$\begin{array}{l} v_{↑} = 0 \\ t_{↑} = \frac{1}{γ G} \arctan (γ v_{0}) \\ x_{m á x} = \frac{1}{γ^{2} G} \ln \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}} \end{array}$

Movimiento vertical hacia abajo

La ecuación del movimiento es ahora

$\frac{d v_{↓}}{d t} = - G (1 - γ^{2} v_{↓}^{2})$

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=t_↑, la velocidad inicial v=0.

$\begin{array}{l} \int_{0}^{v_{↓}} \frac{d v_{↓}}{1 - γ^{2} v_{↓}^{2}} = - G \int_{t_{↑}}^{t} d t \\ \int_{0}^{v_{↓}} (\frac{\frac{1}{2}}{1 - γ v_{↓}} + \frac{\frac{1}{2}}{1 + γ v_{↓}}) d v_{↓} = - G (t - t_{↑}) \\ {\frac{1}{2 γ} \ln \frac{1 + γ v_{↓}}{1 - γ v_{↓}} |}_{0}^{v_{↓}} = - G (t - t_{↑}) \\ \frac{1}{2 γ} \ln \frac{1 + γ v_{↓}}{1 - γ v_{↓}} = - G (t - t_{↑}) \\ v_{↓} = - \frac{1}{γ} \tanh (γ G (t - t_{↑})) \end{array}$

donde t_↑ es el tiempo que tarda el cuerpo en ascender hasta la máxima altura v=0.

Integrando nuevamente obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante t=t_↑, el cuerpo parte de la altura máxima x_máx

$\begin{array}{l} x_{↓} - x_{m á x} = \int_{t_{↑}}^{t} v_{↓} d t = \int_{t_{↑}}^{t} - \frac{1}{γ} \tanh (γ G (t - t_{↑})) d t = \\ \int \tanh u \cdot d u = \ln \cosh u + C \\ x_{↓} = x_{m á x} - \frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cosh (γ G (t - t_{↑}))) = \\ \frac{1}{γ^{2} G} \ln \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}} - \frac{1}{γ^{2} G} \ln (\cosh (γ G (t - t_{↑}))) = \frac{1}{γ^{2} G} \ln \frac{\sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}}}{\cosh (γ G (t - t_{↑}))} \end{array}$

Tiempo de descenso

$\begin{array}{l} x_{↓} = 0 \\ \cosh (γ G t_{↓}) = \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}} \\ t_{↓} = \frac{1}{γ G} arccosh \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}} = \frac{1}{γ G} arcsinh (γ v_{0}) = \\ \frac{1}{γ G} \ln (γ v_{0} + \sqrt{1 + {(γ v_{0})}^{2}}) \end{array}$

Para llegar a estas relaciones se ha tenido en cuenta que

$\begin{array}{l} \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1 \\ \sinh x = u x = arcsinh u \\ \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = u e^{2 x} - 2 u e^{x} - 1 = 0 \\ e^{x} = u + \sqrt{u^{2} + 1} x = \ln (u + \sqrt{u^{2} + 1}) \end{array}$

La suma del tiempo de ascenso t_↑y el tiempo de descenso t_↓ es el tiempo de vuelo T.

T=t_↑+t_↓

El tiempo que tarda una partícula lanzada con velocidad v₀ en ascender y descender en ausencia de rozamiento es T=2v₀/g.

Ejemplo:

Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v₀=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y su radio de R=15 cm. Sabiendo que la densidad del aire es ρ_f=1.293 kg/m³ y su viscosidad es η=17.1 10^-6 kg/(m·s).

El valor de G=7.53 m/s² y el de γ =0.176 s/m. El número de Reynolds es en el momento del lanzamiento de la pelota vale

$Re = \frac{1.293 \cdot 2 \cdot 0.15 \cdot 5}{17.1 \cdot 10^{- 6}} = 113421$

El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de Reynolds esté dentro del intervalo 1000<Re<200000.

En el siguiente applet, se compara el movimiento de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v₀=5 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo de la pelota en el aire (en rojo).

Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t.
Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Timmerman, van der Weele. On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys. 67(6) June 1999, pp 538-546