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Movimiento con rozamiento

Las fuerzas sobre la partícula:

• El peso, mg

• La reacción de la superficie circular sobre la que desliza, N

• La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento, F_r=μN

 

 

 

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

${\displaystyle N-mg\cos \theta =m{a}_n{a}_n=\frac{v^2}{R}}$

La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

ma_t=-mg·sinθ-F_r

con F_r=μ·N, tenemos la ecuación

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{R}}$               (1)

Llamando $x=\frac{v^2}{Rg}$ nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=-2(\sin \theta +\mu \cos \theta )}$

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x₁=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial, obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{-6\mu }{4{\mu }^2+1}B=\frac{2-4{\mu }^2}{4{\mu }^2+1}}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=0\frac{dx}{x}=-2\mu ·d\theta {\displaystyle \int \frac{dx}{x}}=-{\displaystyle \int 2\mu ·d\theta }}$

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+cte, o bien,  x₂=C·exp(-2μθ)

La solución completa es x=x₁+x₂

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=C\exp (-2\mu \theta )+\frac{-6\mu ·\sin \theta +(2-4{\mu }^2)\cos \theta }{4{\mu }^2+1}}$

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θ₀, v=0

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=-\frac{-6\mu ·\sin {\theta }_0+(2-4{\mu }^2)\cos {\theta }_0}{4{\mu }^2+1}\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)+\frac{-6\mu ·\sin \theta +(2-4{\mu }^2)\cos \theta }{4{\mu }^2+1}}$    (2)

Como podemos comprobar cuando θ=θ₀, v=0

En la figura, se representa v²/Rg en función del ángulo θ,  para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.0,  μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ₀=-60º.

Cuando no hay rozamiento, la posición final cuando la partícula vuelve a pararse es θ=60º. Cuando hay rozamiento la posición final es θ<60º.

Ejemplo:

Sea coeficiente de rozamiento entre la superficie semiesférica y la partícula es μ=0.25. Si la partícula parte de la posición θ₀=-60º=-π/3, calcular la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición θ=0. El radio de la superficie semicircular es R=1 m.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{v^2}{1.0·9.8}=-\frac{-6·0.25·\sin \text{(-}\pi \text{/3)}+(2-4·{0.25}^2)\cos \text{(-}\pi \text{/3)}}{4·{0.25}^2+1}\exp \left(-2·0.25·\pi /3\right)+\frac{2-4·{0.25}^2}{4·{0.25}^2+1}\\ v=1.90\text{m/s}\end{array}}$

Si la partícula parte de la posición inicial θ₀=-90º=-π/2, la velocidad cuando pasa por la posición más baja θ=0 es

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=\frac{2}{4{\mu }^2+1}\left(-3\mu \exp (-\mu \pi )-2{\mu }^2+1\right)}$

Por ejemplo, para μ=0.25,  v²/(Rg)=0.853. En la figura, se muestra la v²/(Rg) cuando la partícula pasa por el punto más bajo de la superficie semicircular, para varios valores del coeficiente de rozamiento.

Sucesivas posiciones de parada

Cuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición -θ₀, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición θ₀, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida -θ₀, y así, sucesivamente.

Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición -θ₀, llega hasta la posición θ₁, se cumple que θ₀>|θ₁|. Pueden ocurrir dos casos:

• Que la componente del peso sea mayor que la fuerza de rozamiento (supondremos que μ_s= μ_k= μ)

mgsin|θ₁|≥μ·mgcosθ₁,  o bien que, tan|θ₁|≥μ

La partícula inicia su camino de vuelta, llegando a una posición |θ₂|<|θ₁|

• Que tan|θ₁|<μ

La partícula se para definitivamente

Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ₂. Si se cumple que tan|θ₂|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula parte de la posición -θ_0. Para calcular la posición de parada θ₁ se pone v=0 en la ecuación (2) y se calcula la raíz de la ecuación trascendente.

${\displaystyle \left(-3\mu ·\sin {\theta }_0+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_0\right)\exp \left(2\mu {\theta }_0\right)=\left(-3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(2\mu \theta \right)}$

Si se cumple que tan|θ₁|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo (véase la figura más arriba), por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ₂, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(3\mu ·\sin {\theta }_1+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_1\right)\exp \left(-2\mu {\theta }_1\right)=\left(3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(-2\mu \theta \right)}$

Si se cumple que tan|θ₂|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ₃, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(-3\mu ·\sin {\theta }_2+(1-2{\mu }^2)\cos {\theta }_2\right)\exp \left(2\mu {\theta }_2\right)=\left(-3\mu ·\sin \theta +(1-2{\mu }^2)\cos \theta \right)\exp \left(2\mu \theta \right)}$

y así, sucesivamente…

Ejemplo: Sea θ=-90º=-π/2, y μ=0.2.

La primera posición θ₁ de parada v=0 se calcula resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(-3·0.2·\sin {\theta }_0+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_0\right)\exp \left(2·0.2·{\theta }_0\right)=\left(-3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(2·0.2·\theta \right)}$

La raíz es θ₁=44.54º, 

Se cumple que tan|θ₁|≥0.2, la partícula se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ₂, resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(3·0.2·\sin {\theta }_1+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_1\right)\exp \left(-2·0.2·{\theta }_1\right)=\left(3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(-2·0.2·\theta \right)}$

La raíz es θ₂=-17.38º, 

Como tan|θ₂|≥0.2 la partícula se mueve hacia la derecha, la fuerza de rozamiento cambia de signo. Calculamos la posición de parada θ₃, resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \left(-3·0.2·\sin {\theta }_2+(1-2·{0.2}^2)\cos {\theta }_2\right)\exp \left(2·0.2·{\theta }_2\right)=\left(-3·0.2·\sin \theta +(1-2·{0.2}^2)\cos \theta \right)\exp \left(2·0.2\theta \right)}$

La raíz es θ₃=-5.40º, 

Como tan|θ₃|<0.2, la partícula se para definitivamente.

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la energía final de la partícula menos la energía inicial. En la figura del primer apartado, tenemos que

${\displaystyle W_r=E_f-E_i=\left(\frac{1}{2}m{v}^2-mgR\cos \theta \right)-\left(-mgR\cos {\theta }_0\right)}$

Sustituyendo la larga expresión (2) de v² en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se encuentra en la posición θ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se puede calcular también del siguiente modo

dW_r=F_r·dl=-F_r·dl·cos180º=-F_r·dl=-μN·R·dθ

${\displaystyle d{W}_r=-\mu \left(mg\cos \theta +m\frac{v^2}{R}\right)·R·d\theta }$

Despejamos v² en la ecuación de la energía, y llegamos a la ecuación diferencial.

${\displaystyle \frac{d{W}_r}{d\theta }+2\mu W_r=-\mu (3mgR\cos \theta -2mgR\cos {\theta }_0)}$

e integramos esta ecuación diferencial de modo similar a la de la velocidad.

Para el caso particular de que la partícula parte de la posición más alta θ=-π/2. La ecuación diferencial se hace más simple

${\displaystyle \frac{d{W}_r}{d\theta }+2\mu W_r=-3\mu mgR\cos \theta }$

Ensayamos una solución particular de la forma

W₁=Asenθ+Bcosθ. Obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{-3\mu }{4{\mu }^2+1}mgRB=2\mu A}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{d{W}_2}{d\theta }+2\mu W_2=0W_2=C\exp (-2\mu \theta )}$

La solución completa es W_r=W₁+W₂

${\displaystyle W_r=C\exp (-2\mu \theta )-\frac{3\mu }{4{\mu }^2+1}\left(\sin \theta +2\mu \cos \theta \right)mgR}$

La constante C se determina sabiendo que el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r cuando la partícula se encuentra en la posición inicial θ=-π/2 es cero

${\displaystyle W_r=-\frac{3\mu }{4{\mu }^2+1}\left(\exp (-\mu (2\theta +\pi ))+\sin \theta +2\mu \cos \theta \right)mgR}$

Ejemplo: Si μ=0.25, y la partícula parte de la posición θ₀=-π/2. La velocidad de la partícula cuando llega a la posición más baja θ=0, es v²/(Rg)=0.853 tal como hemos calculado anteriormente

Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r de forma indirecta

${\displaystyle W_r=E_f-E_i=\left(\frac{1}{2}m{v}^2-mgR\cos \theta \right)-\left(-mgR\cos {\theta }_0\right)=mgR\left(\frac{1}{2}0.853-1\right)=-0.573·mgR}$

Calculamos el trabajo de la fuerza de rozamiento W_r de forma directa

${\displaystyle W_r=-\frac{3·0.25}{4·{0.25}^2+1}\left(\exp (-0.25·\pi )+2·0.25\right)mgR=-0.573·mgR}$

Ecuación diferencial del movimiento

• Movimiento hacia la derecha

Poniendo $v=R\frac{d\theta }{dt}$ , en la ecuación (1), obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{R}(\sin \theta +\mu \cos \theta )-\mu {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ= -θ₀, dθ/dt=0.

• Movimiento hacia la izquierda

La fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ.

Caso particular:

Cuando no hay rozamiento

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{R}\sin \theta =0}$

Si el ángulo θ es pequeño, podemos aproximar sen θ≈ θ. Tenemos entonces la ecuación de un Movimiento Armónico Simple

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{R}\theta =0}$

cuyo periodo es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}}$

Ejemplo:

El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m, desde la posición - θ₀,  hasta θ₀, cuando este ángulo es pequeño, es P/2

${\displaystyle t=\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}}=1.00\text{s}}$

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento, o introduciendo un número en el control de edición correspondiente.

• El ángulo de partida -θ₀, actuando el la barra de desplazamiento titulada Ángulo.

• El radio de la superficie circular se ha fijado en R=1 m.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se dibujan las fuerzas sobre la partícula:

• El peso, mg

• La fuerza de rozamiento, F_r, cuya dirección es tangente a la trayectoria circular, y cuyo sentido es opuesto a la velocidad

• La reacción N de la superficie curva, que tiene dirección radial.

En la parte central del applet, se dibujan las energías en forma de diagrama de tarta

• La energía potencial en color azul

• La energía cinética en color rojo

• El trabajo de la fuerza de rozamiento en color negro.

Las posiciones en las que la partícula se detiene momentáneamente v=0, se han marcado en color rojo en la superficie circular cóncava.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García