
Movimiento sobre una superficie semicircular cóncava
En esta página, se estudia el movimiento de una partícula que desliza sobre una superficie semicircular cóncava de radio R.
Este ejemplo, nos sugiere una posible práctica de laboratorio para la medida del coeficiente de rozamiento cinético.
Movimiento sin rozamiento
Las fuerzas sobre la partícula:
-
El peso, mg
- La reacción de la superficie circular sobre la que desliza, N
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es
La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es
que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ= -θ0, dθ/dt=0.
Principio de conservación de la energía
A medida que la partícula desliza por la superficie semicircular, va aumentando su velocidad. La energía potencial se va transformando en energía cinética.
Si la partícula parte de la posición angular –θ0 con velocidad inicial cero. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v de la partícula cuando se encuentra en la posición θ
Como v=Rdθ/dt, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden.
Obtenemos una expresión similar cuando determinamos el tiempo que tarda en caer la varilla inclinada, y el periodo del péndulo compuesto para cualquier amplitud.
Empleando la fórmula del coseno del ángulo doble cos2A=cos2A-sin2A, y la relación sin2A+cos2A=1.
Haciendo la sustitución
obtenemos
El tiempo que emplea la partícula en desplazarse desde θ=0, (φ=0) hasta θ0 (φ=π/2) es la integral elíptica completa de primera especie.
El tiempo que tarda la partícula desde que sale en la posición –θ0, con velocidad inicial cero, hasta que llega a la posición final θ0 es el doble del tiempo 2·t. El periodo de una oscilación completa de la partícula es P=4·t.
El programa interactivo que viene a continuación calcula la integral elíptica completa cuando se proporciona la posición de partida θ0 de la partícula.
Programa para calcular la integral elíptica completa de primera especie
Ejemplo:
Para θ0=60º la integral elíptica vale 1.6858. El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -60º hasta 60º es
Para θ0=15º la integral elíptica vale 1.5776. El tiempo que tarda la partícula en deslizar sin rozamiento sobre la superficie semicircular de radio R=1 m desde la posición -15º hasta 15º es
