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Movimiento sobre una superficie parabólica

En esta página, describiremos el movimiento de una partícula de masa m parte del reposo desde la posición x₀ y desliza a lo largo de una superficie parabólica en posición vertical de ecuación y=ax²/2

 

 

 

 

 

 

 

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son:

• El peso, mg

• La reacción de la superficie, N

• La fuerza de rozamiento, F_r=μN, siendo μ el coeficiente de rozamiento

Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.

${\displaystyle y=\frac{a}{2}{x}^2\frac{dy}{dx}=\tan \theta =ax}$

Movimiento hacia la derecha

La partícula inicialmente en reposo, parte de la posición x₀, y se moverá hacia la derecha si la componente tangencial del peso es mayor que la fuerza de rozamiento

mgsin|θ₀|≥μ_smgcosθ₀     tan|θ₀|≥μ_s 

Siendo μ_s=μ el coeficiente de rozamiento estático

Descomponemos las fuerzas, y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-N\sin \theta -F_r\cos \theta \\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=N\cos \theta -mg-F_r\sin \theta \end{array}}$

Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t

${\displaystyle y=\frac{a}{2}{x}^2\frac{dy}{dt}=ax\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=ax\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+a{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}$

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \left(\frac{1+a^2{x}^2}{ax+\mu }\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+a{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=-g}$       (1)

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo v_x=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x₀.

Posición de pausa

La partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x₁. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_x=\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=v_x\frac{d{v}_x}{dx}\\ \left(\frac{1+a^2{x}^2}{ax+\mu }\right)v_x\frac{d{v}_x}{dx}+a{v}_x=-g\\ -\frac{v_{x}d{v}_x}{g+a{v}_x^2}=\left(\frac{ax+\mu }{1+a^2{x}^2}\right)dx=\frac{1}{a}(\mu +\tan \theta )d\theta \end{array}}$

Integramos la ecuación diferencial entre x₀ ó θ₀ donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es v_x.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{v_x}{\int }}\frac{-v_{x}d{v}_x}{g+a{v}_x^2}}={\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}(\mu +\tan \theta )d\theta }\\ \ln \left(1+\frac{a{v}_x^2}{g}\right)=2\ln \left(\frac{\cos \theta }{\cos {\theta }_0}\right)-2\mu (\theta -{\theta }_0)\end{array}}$                (2)

En la posición θ=θ₁ la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo v_x=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \ln \cos \theta -\mu \theta =\ln \cos {\theta }_0-\mu {\theta }_0}$                (3)

Una vez calculado la raíz θ₁,obtenemos la posición x₁ a partir de tanθ₁= a·x₁

Movimiento hacia la izquierda

Cuando la partícula llega a la posición x₁, se para momentáneamente e inicia el camino de vuelta si la fuerza de rozamiento es menor que la componente tangencial del peso

mgsinθ₁≥μmgcosθ₁     tan θ₁≥μ 

La fuerza de rozamiento cambia de sentido, y las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-N\sin \theta +F_r\cos \theta \\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=N\cos \theta -mg+F_r\sin \theta \end{array}}$

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \left(\frac{1+a^2{x}^2}{ax-\mu }\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+a{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=-g}$

Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1) cambiando μ→-μ

La partícula sale de la posición x₁ se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x₂, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio  μ→-μ

${\displaystyle \ln \cos \theta +\mu \theta =\ln \cos {\theta }_1+\mu {\theta }_1}$

Una vez calculada la raíz θ₂, obtenemos la posición x₂, tal que tanθ₂= a·x₂

Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tan|θ_n|<μ

Trabajo de la fuerza de rozamiento

${\displaystyle W={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}{F}_r·dr}=-{\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\mu N·ds}}$

F_r=μN es la fuerza de rozamiento

dr es el vector desplazamiento cuyo módulo es ds.

Calculamos la reacción N de la superficie

 

 

 

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

${\displaystyle m\frac{v^2}{\rho }=N-mg\cos \theta }$

donde ρ es el radio de curvatura y el punto C el centro de curvatura

Buscamos en un libro de cálculo diferencial e integral, el capítulo de nociones básicas de geometría diferencial, y copiamos la fórmula que nos da el radio de curvatura de una función y=f(x) en un punto de abscisa x.

${\displaystyle \rho =\left|\frac{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{3/2}}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}\right|}$

Para la parábola de ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{a}{2}{x}^2\frac{dy}{dx}=ax\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=a\\ \rho =\left|\frac{{\left(1+a^2{x}^2\right)}^{3/2}}{a}\right|=\frac{{\left(1+{\tan }^2\theta \right)}^{3/2}}{a}=\frac{1}{a{\cos }^3\theta }\end{array}}$

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale

${\displaystyle \left(1+\frac{a{v}_x^2}{g}\right)={\left(\frac{\cos \theta }{\cos {\theta }_0}\right)}^2\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)}$

La reacción de la superficie N es

${\displaystyle \begin{array}{l}N=mg\cos \theta +ma{v}_x^2\cos \theta =mg\cos \theta \left(1+\frac{a{v}_x^2}{g}\right)=\\ mg\cos \theta {\left(\frac{\cos \theta }{\cos {\theta }_0}\right)}^2\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)\end{array}}$

Calculamos el trabajo W

${\displaystyle \begin{array}{l}W=-{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}\mu N·ds}=-\frac{\mu mg}{a{\cos }^2{\theta }_0}{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)}d\theta =\\ -\frac{mg}{2a{\cos }^2{\theta }_0}\left(1-\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)\right)\end{array}}$

Balance energético

Podemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra en la posición x)  y la energía inicial 8cuendo la partícula se encuentra en la posición x₀)

${\displaystyle W=\left(mgy+\frac{1}{2}m{v}^2\right)-mg{y}_0}$

Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ  de la tangente a la curva.

${\displaystyle y=\frac{a}{2}{x}^2\tan \theta =axv=\frac{v_x}{\cos \theta }}$

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale

${\displaystyle \left(1+\frac{a{v}_x^2}{g}\right)={\left(\frac{\cos \theta }{\cos {\theta }_0}\right)}^2\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)}$

Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.

${\displaystyle W=-\frac{mg}{2a{\cos }^2{\theta }_0}\left(1-\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)\right)}$

Ejemplos

• Sea la parábola y=x², con a=2.0.

• El coeficiente de rozamiento vale μ=0.1

• La partícula sale de la posición x₀=-2.0.

1. Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria x=0.0

El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x₀=-2.0 es

tanθ₀=ax₀, θ₀=-1.32 rad

El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x=0.0 es θ=0.0 rad.

Calculamos la componente X de la velocidad v_x y a continuación, el módulo de la velocidad v.

${\displaystyle \left(1+\frac{2.0·v_x^2}{9.8}\right)={\left(\frac{\cos 0}{\cos (-1.32)}\right)}^2\exp \left(-2·0.1·1.32\right)v=\frac{v_x}{\cos \theta }v=7.68\text{m/s}}$

2. Posiciones de pausa

La posición de pausa se calcula resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle \ln \cos \theta -0.1·\theta =\ln \cos (-1.32)-0.1·(-1.32){\theta }_1=1.25\text{rad}x=\frac{\tan {\theta }_1}{a}=1.51\text{m}}$

como tanθ₁>μ la partícula desliza hacia la izquierda, hasta que se detiene momentáneamente en la posición que se calcula resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha sustituido μ→-μ

${\displaystyle \ln \cos \theta +0.1·\theta =\ln \cos (1.25)+0.1·1.25{\theta }_2=-1.16\text{rad}x=\frac{\tan {\theta }_2}{a}=-1.15\text{m}}$

como tan|θ₂|>μ la partícula desliza hacia la derecha

y así sucesivamente, hasta que tan|θ_n|<0.1

3. Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial x=-2.0 y la posición x=0 .

Energía inicial cuando la partícula se encuentra en x₀=-2.0

${\displaystyle E_0=mg{y}_0=m·9.8·\frac{2.0}{2}{\left(-2.0\right)}^2=39.2·m}$

La energía final cuando la partícula se encuentra en x=0

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{7.68}^2=29.5m}$

Trabajo de la fuerza de rozamiento

${\displaystyle \begin{array}{l}W=-\frac{mg}{2a{\cos }^2{\theta }_0}\left(1-\exp \left(-2\mu (\theta -{\theta }_0)\right)\right)\\ W=-\frac{m·9.8}{2·2.0·{\cos }^2(-1.32)}\left(1-\exp (-2·0.1·1.32)\right)=-9.70m\end{array}}$

Comprobamos que W=E-E₀

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de la fuerza de rozamiento actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento

• El valor del parámetro a que describe la superficie parabólica, actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Se establece la posición de partida de la partícula arrastrando con el puntero del ratón sobre la flecha de color rojo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la partícula. Sobre el eje X aparecen señaladas las posiciones de pausa o paro momentáneo de la partícula.

También se representa de forma gráfica el balance energético

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el puntero del ratón la flecha de color rojo

Referencias

Lapidus I R. Motion of a harmonic oscillator with variable sliding friction. Am. J. Phys. 52 (11) November 1984, pp. 1015-1016

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García