Medida de la constante elástica de un muelle

Procedimiento dinámico

Un muelle ejerce una fuerza F sobre una partícula de masa m que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste, tal como podemos apreciar en las figuras.

muelle3.gif (1707 bytes) El desplazamiento x se mide desde la posición O de equilibrio en la que el muelle se encuentra sin deformar. Cuando el muelle está comprimido (x<0) ejerce una fuerza sobre la partícula dirigida hacia la derecha. Cuando el muelle está estirado (x>0) el muelle ejerce una fuerza hacia la izquierda.

Si estiramos o comprimimos el muelle de constante k solidario con una partícula de masa m y lo soltamos veremos que el muelle empieza a oscilar. A partir de la medida del periodo de dichas oscilaciones, podemos determinar la constante elástica del muelle.

Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por la partícula de masa m y el muelle de constante k.

ma=-kx

Expresado en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{k}{m} x = 0$

Esta es la ecuación de un MAS de frecuencia angular

ω ²=k/m y periodo

$P = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

La posición x de la partícula viene dada en función del tiempo t por al ecuación

x=A·sin(ω ·t+φ )

donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de la partícula.

La velocidad v de la partícula se obtiene derivando x respecto del tiempo

v=A·ω ·cos(ω ·t+φ )

La aceleración a se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo

a=-A·ω²·sin(ω ·t+φ )=-ω ²·x

Llegamos de este modo a la ecuación del movimiento de la partícula.

Energía almacenada en un muelle.

La fuerza que ejerce un muelle F=-kx es conservativa y la expresión de la energía potencial es

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

La energía mecánica se mantiene constante.

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

Sustituyendo x y v por sus expresiones en función del tiempo t llegamos a la conclusión de que la energía mecánica es constante e independiente del tiempo.

En el apartado dedicado al estudio del MAS describimos el movimiento de una partícula cuya energía potencial es kx²/2

Medida de la constante del muelle

De la fórmula del periodo P obtenemos la siguiente relación lineal

$\frac{P^{2}}{4 π^{2}} = \frac{m}{k}$ .

En un sistema de ejes:

P²/(4π²) (en 10^-3 s²) en el eje vertical,
la masa m·0.05 (en kg) en el eje horizontal,

se representan los datos "experimentales" y la recta cuya pendiente es la inversa de la constante k del muelle.

Actividades

Cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo, el programa interactivo genera de forma aleatoria el valor de la constante elástica de un muelle, cuyo valor vamos a determinar realizando esta "experiencia".

Colgamos del extremo libre del muelle una pesa de 50 g, arrastrándola con el puntero del ratón. Pulsamos el botón titulado Empieza. El sistema formado por la masa y el muelle comienza a oscilar.

Se mide el tiempo de cinco oscilaciones completas, con un cronómetro. Se pone en marcha el cronómetro pulsando el botón titulado En marcha, y se para pulsando el mismo botón titulado ahora Parar.

Colgamos una o más pesas de 50 g y repetimos el procedimiento de medida del tiempo de cinco oscilaciones.

Los datos de la "experiencia" masa m (en kg) de las pesas que cuelgan del muelle, periodo 5·P (de 5 oscilaciones en s) se recogen en el control área de texto, situado a la izquierda del applet.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre la pesa con el puntero del ratón hasta el extremo libre del muelle. Coloque las pesas una debajo de la otra.