Un bloque desliza a lo largo de un plano inclinado y deforma un muelle

Estudio energético del sistema

El bloque desliza por el plano inclinado hacia abajo

Se sitúa el bloque parte de la posición x₀ con velocidad inicial nula. Supondremos que el bloque desliza a lo largo del plano inclinado desde la posición x₀<0 hasta el origen

La fuerza de rozamiento vale, f_r=μ_k·N=μ_k mg·cosθ y se opone al movimiento

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final e inicial. Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen. La velocidad v₀ con la que el cuerpo llega al origen x=0, es

$\begin{array}{l} - f_{r} | x_{0} | = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - m g x_{0} \sin θ \\ v_{0} = \sqrt{- 2 g (\sin θ - μ_{k} \cos θ) x_{0}} = \sqrt{- 2 a_{+} x_{0}} \end{array}$

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo.

El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde el origen a la posición x>0 se escribe

$- f_{r} x = (\frac{1}{2} m v^{2} - m g x \sin θ + \frac{1}{2} k x^{2}) - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

El bloque se detiene en la posición x_m en el instante en el que la velocidad v=0. Calculamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g (\sin θ - μ_{k} \cos θ) x_{m} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 0 \\ ω^{2} x_{m}^{2} - 2 a_{+} x_{m} - v_{0}^{2} = 0 \\ x_{m} = \frac{a_{+} + \sqrt{a_{+}^{2} + v_{0}^{2} ω^{2}}}{ω^{2}} \end{array}$

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba

El bloque parte de x_m con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

kx_m-mgsinθ ≥ μ_smgcosθ,
ω²x_m≥a_-

en caso contrario la posición x_m será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición.

El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde la posición x_m hacia el origen se escribe

$- f_{r} | x - x_{m} | = (\frac{1}{2} m v^{2} - m g x \sin θ + \frac{1}{2} k x^{2}) - (\frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g x_{m} \sin θ)$

Pasa por el origen

Calculamos la velocidad v_f del bloque cuando llega al origen x=0,

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} m v_{f}^{2} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g (\sin θ + μ_{k} \cos θ) x_{m} \\ \frac{1}{2} m v_{f}^{2} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m a_{-} x_{m} \\ v_{f}^{2} = - \sqrt{ω^{2} x_{m}^{2} - 2 a_{-} x_{m}} \end{array}$

A continuación, el bloque deja de tener contacto con el muelle y desliza por el plano inclinado hacia arriba, como describiremos más adelante.

Se para antes de llegar al origen

La energía cinética no puede ser negativa, en el caso de que el radicando sea negativo, el bloque se para antes de llegar al origen en la posición x₁en la que v=0

$\begin{array}{l} - f_{r} (x_{m} - x_{1}) = (- m g x_{1} \sin θ + \frac{1}{2} k x_{1}^{2}) - (\frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g x_{m} \sin θ) \\ \frac{1}{2} k x_{1}^{2} - m a_{-} x_{1} - (\frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m a_{-} x_{m}) = 0 \\ ω^{2} x_{1}^{2} - 2 a_{-} x_{1} - (ω^{2} x_{m}^{2} - 2 a_{-} x_{m}) = 0 \\ x_{1} = - x_{m} + \frac{2 a_{-}}{ω^{2}} \end{array}$

A continuación, el bloque en reposo se detiene definitivamente, o empieza a deslizar hacia abajo, como veremos más adelante.

El bloque desliza hacia arriba

Si el bloque no está sujeto al muelle, el bloque continuará moviéndose hacia arriba hasta que su velocidad sea cero

$\begin{array}{l} - μ_{k} m g \cdot \cos θ | x | = m g | x | \sin θ - \frac{1}{2} m v_{f}^{2} \\ x = - \frac{v_{f}^{2}}{2 a_{-}} \end{array}$

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

Volverá a deslizar a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, si

mgsinθ-kx₁≥μ_k·mgcosθ,
ω²x₁≤a₊

Si se cumple esta condición el máximo desplazamiento de móvil x₂>x₁ se calcula aplicando el balance energético

$\begin{array}{l} - f_{r} (x_{2} - x_{1}) = (- m g x_{2} \sin θ + \frac{1}{2} k x_{2}^{2}) - (\frac{1}{2} k x_{1}^{2} - m g x_{1} \sin θ) \\ ω^{2} x_{2}^{2} - 2 a_{+} x_{2} - (ω^{2} x_{1}^{2} - 2 a_{+} x_{1}) = 0 \\ x_{2} = - x_{1} + \frac{2 a_{+}}{ω^{2}} \end{array}$

y así, sucesivamente.

Ejemplo

Coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k=0.3
Masa del bloque, m=1 kg
Angulo del plano inclinado θ=30º
Constante elástica del muelle, k=50 N/m
Posición inicial del bloque x=-1.0 m

El bloque desliza por el plano inclinado, hacia abajo

Como tanθ≥μ, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo

La aceleración del bloque es

a₊=g(sinθ-μcosθ)=9.8·(sin30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s

El tiempo t que tarda en llegar al origen x=0

0=-1.0+a₊t²/2, t=0.92 s

La velocidad v del bloque

v=a₊t, v₀=2.17 m/s

Balance energético

La fuerza de rozamiento vale f_r= μmgcosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N

$- f_{r} \cdot 1.0 = \frac{1}{2} 1.0 \cdot v_{0}^{2} - 1.0 \cdot 9.8 \cdot 1.0 \cdot \sin 30 v_{0} = 2.17 m/s$

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

La frecuencia angular ω²=k/m=50

El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es

$ω t = π - \arctan (\frac{v_{0} ω}{a_{+}}) t = \frac{1}{\sqrt{50}} (π - \arctan (\frac{2.17 \cdot \sqrt{50}}{2.35})) = 0 .24 s$

El máximo desplazamiento x_m es

$x_{m} = \frac{\sqrt{v_{0}^{2} ω^{2} + a_{+}^{2}} + a_{+}}{ω^{2}} x_{m} = \frac{\sqrt{{2.17}^{2} \cdot 50 + {2.35}^{2}} + 2.35}{50} = 0 .357 m$

Balance energético

$\begin{array}{l} - f_{r} x_{m} = (- m g x_{m} \sin θ + \frac{1}{2} k x_{m}^{2}) - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \\ - {2.55}_{r} x_{m} = (- 1.0 \cdot 9.8 x_{m} \sin 30 + \frac{1}{2} 50 \cdot x_{m}^{2}) - \frac{1}{2} 1.0 \cdot {2.17}^{2} \end{array}$

Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular x_m=0.357 m

El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba

La aceleración

a_-=g(sinθ+μcosθ)=9.8·(sin30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s

El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo

$ω t = π - \arccos (\frac{a_{-}}{ω^{2} x_{m} - a_{-}}) t = \frac{1}{\sqrt{50}} (π - \arccos (\frac{7.45}{50 \cdot 0.357 - 7.45})) = 0 .33 s$

La velocidad v_f del bloque cuando pasa por el origen es

$v_{f} = - \sqrt{ω^{2} x_{m}^{2} - 2 a_{-} x_{m}} v_{f} = - \sqrt{50 \cdot {0.357}^{2} - 2 \cdot 7.45 \cdot 0.357} = - 1.03 m/s$

Balance energético

$\begin{array}{l} - f_{r} x_{m} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - (\frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g x_{m} \sin θ) \\ - 2.55 \cdot 0.357 = \frac{1}{2} 1.0 v_{f}^{2} - (\frac{1}{2} 50 \cdot {0.357}^{2} - 1.0 \cdot 9.8 \cdot 0.357 \cdot \sin 30 º) v_{f} = 1 .03 m/s \end{array}$

El bloque desliza hacia arriba

v=-1.03 +7.45 t
x=-1.03·t +7.45·t²/2

La velocidad v se hace cero, en el instante t=0.14 s, x₀=-0.072 m

El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el origen, deslizando por el plano inclinado

x=-0.072+a₊t²/2,
v=a₊t,

cuando pasa por el origen x=0, t=0.24 s, v₀=0.58 m/s

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es

$ω t = π - \arctan (\frac{v_{0} ω}{a_{+}}) t = \frac{1}{\sqrt{50}} (π - \arctan (\frac{0.58 \cdot \sqrt{50}}{2.35})) = 0 .30 s$

El máximo desplazamiento x_m es

$x_{m} = \frac{\sqrt{v_{0}^{2} ω^{2} + a_{+}^{2}} + a_{+}}{ω^{2}} x_{m} = \frac{\sqrt{{0.58}^{2} \cdot 50 + {2.35}^{2}} + 2.35}{50} = 0 .142 m$

En esta posición

kx_m-mgsinθ ≤ μ_smgcosθ,

1.19<2.55

El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición

Actividades

Se introduce

El coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k, entre el bloque y el plano sobre el cual desliza, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
El ángulo del vértice del plano inclinado en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo.
La constante k del muelle elástico en N/m, en el control de edición titulado Constante muelle.
La masa m del bloque en kg, ese ha fijado en m=1 kg.
La posición inicial del bloque se ha fijado en x₀=-1.0 m.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del bloque.

En la parte inferior del applet, se proporciona los datos relativos, al tiempo total, tt, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm y la velocidad v del bloque en m/s, y la energía del sistema formado el bloque y el muelle, en cada instante.

Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el bloque:

Componente del peso a lo largo del plano inclinado
Fuerza de rozamiento
Fuerza que ejerce el muelle deformado

En la parte superior derecha, muestra en un diagrama de barras la energía del sistema en cada instante.

El rectángulo de color negro, es la energía inicial
En color rojo, la energía potencial elástica del muelle deformado, que es siempre positiva
En color azul, la energía cinética del bloque
El color rosa, la energía potencial, que puede ser positiva o negativa, dependiendo de que el cuerpo esté por encima o por debajo del origen.

La energía va disminuyendo debido al trabajo de la fuerza de rozamiento.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.