Movimiento del extremo de una cadena bajo la acción de un fuerza constante

Procedimientos numéricos

Ecuación diferencial de segundo orden

Movimiento hacia arriba

Resolver la ecuación diferencial de segundo orden

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{F}{ρ x} - g - \frac{1}{x} {(\frac{d x}{d t})}^{2}$

por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, x=x₀, v=dx/dt=0.

public class SistemaArriba extends RungeKutta{
    final double xe=0.5;
   public SistemaArriba(double h){
      super(h);
    }
    public double f(double x, double v, double t){
         double aceleracion=9.8*(xe/x-1-v*v/(9.8*x));
         return aceleracion;
    }
}

Se establece el estado incial

Estado estado=new Estado(0.0, x0, 0.0);

Se crea un objeto de la clase derivada

 SistemaArriba sa=new SistemaArriba(0.01);

Se llama a la función resolver que determina el estado del sistema en el instante t+h conocido el estado en el instante t

sa.resolver(estado);

Cuando la velocidad se hace cero, v=0, la posición final es

$x_{1} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x_{e} - x_{0}) + \frac{1}{2} \sqrt{- 3 x_{0}^{2} + \frac{9}{4} x_{e}^{2} + 3 x_{e} x_{0}}$

Iniciándose el movimiento hacia abajo

Movimiento hacia abajo

Resolver la ecuación diferencial de segundo orden

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{F}{ρ x} - g$

por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, x=x₁, v=dx/dt=0.

public class SistemaAbajo extends RungeKutta{
    final double xe=0.5;
   public SistemaAbajo(double h){
      super(h);
    }
    public double f(double x, double v, double t){
         double aceleracion=9.8*(xe/x-1);
         return aceleracion;
    }
}

Se establece el estado incial

double x1=(3*xe/2-x0)/2+Math.sqrt(-3*x0*x0+9*xe*xe/4+3*xe*x0)/2;
estado=new Estado(estado.t, x1, 0.0);

Se crea un objeto de la clase derivada

 SistemaAbajo sb=new SistemaAbajo(0.01);

Se llama a la función resolver que determina el estado del sistema en el instante t+h conocido el estado en el instante t

sb.resolver(estado);

Cuando la velocidad se hace cero, v=0, la posición final es la raíz de la ecuación trascendente

$x_{e} \ln (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = x_{1} - x_{2}$

Conocido x₁ se calcula x₂, resolviendo la ecuación trascendente por el procedimiento numérico del punto medio.

Finalmente, x₂ es la posición inicial x₀ para el movimiento hacia arriba, completándose un ciclo.

estado=new Estado(estado.t, x0, 0.0);

Procedimiento del punto medio

public class Funcion extends Ecuacion{
    final double xe=0.5;
    double x0;
    public Funcion(double x0){
      this.x0=x0;
    }
    public void setInicial(double x0){
      this.x0=x0;
    }
    public double f(double x){
        double y=xe*Math.log(x/x0)+x0-x;
        return y;
    }
}

Se calcula la posición final x₂ del movimiento hacia abajo conocida la posición final x₁ del movimiento hacia arriba anterior.

public class Aplicacion {
 public static void main(String[] args) {
     double xe=0.5;     
     double x0=0.3;     
     double x1=(3*xe/2-x0)/2+Math.sqrt(-3*x0*x0+9*xe*xe/4+3*xe*x0)/2;;
     Funcion f=new Funcion(x1);
     try{
            double x2=f.puntoMedio(0.0, xe);
            System.out.println("posición final "+x2);
        }catch(RaizExcepcion ex){
            System.out.println(ex.getMessage());
        }
  }

}