Movimiento del extremo de una cadena bajo la acción de un fuerza constante

Consideremos una cadena delgada, idealmente flexible, de densidad ρ que está apilada en el suelo. Estudiaremos el movimiento de un extremo de la cadena cuando se le aplica una fuerza constante F. Esta fuerza podría provenir de un globo atado al extremo de la cadena. Dicha fuerza sería igual a la diferencia entre el empuje y el peso del globo.

Situando el origen en el suelo, la posición del extremo de la cadena es x>0. Supondremos que en determinado instante t, hay una parte de la cadena x en movimiento con velocidad v y la otra parte, en reposo sobre el suelo.

Equilibrio

La cadena está en equilibrio, cuando la fuerza aplicada F es igual al peso de la parte de la cadena que cuelga x_e.

F=ρgx_e

Cuando el extremo de la cadena está a una altura x₀<x_e y se suelta, vamos a estudiar el movimiento hacia arriba y hacia abajo de dicho extremo.

Movimiento hacia arriba (v>0)

La derivada del momento lineal p, de la parte de la cadena que se mueve, con respecto al tiempo t, es igual a la fuerza resultante

$\frac{d p}{d t} = F - ρ g x$

donde p es el momento lineal p=(ρx)·v

$x \frac{d v}{d t} + v^{2} = \frac{F}{ρ} - g x \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{F}{ρ x} - g - \frac{1}{x} {(\frac{d x}{d t})}^{2}$

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, x=x₀, v=dx/dt=0.

Cuando x<x_e, el extremo de la cadena incrementa su velocidad hacia arriba, ya que la fuerza aplicada F es mayor que el peso ρgx.
Cuando x>x_e, el extremo de la cadena disminuye su velocidad ya que la fuerza aplicada F es menor que el peso ρgx.
Cuando la velocidad final se haga cero, (posición de retorno x₁) el movimiento hacia arriba cesa y el extremo de la cadena inicia su movimiento hacia abajo.

Cálculo de la posición de retorno x₁.

Escribiendo la ecuación diferencial del movimiento de la forma

$\frac{d (x v)}{d t} = \frac{F}{ρ} - g x$

Aplicando la regla de la cadena $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$

$v \frac{d (x v)}{d x} = \frac{F}{ρ} - g x (x v) \frac{d (x v)}{d x} = \frac{F x}{ρ} - g x^{2}$

Integramos

$\begin{array}{l} \int_{x_{0}, v_{0}}^{x, v} (x v) d (x v) = \int_{x_{0}}^{x} (\frac{F}{ρ} x - g x^{2}) d x \\ \frac{1}{2} {(x v)}^{2} - \frac{1}{2} {(x_{0} v_{0})}^{2} = \frac{1}{2} \frac{F}{ρ} x^{2} - \frac{1}{3} g x^{3} - \frac{1}{2} \frac{F}{ρ} x_{0}^{2} + \frac{1}{3} g x_{0}^{3} \end{array}$

Como la velocidad inicial v₀=0, y la velocidad final en la posición de retorno x=x₁ es igualmente nula v=0, llegamos a la ecuación cúbica

$\frac{g}{3} x^{3} - \frac{F}{2 ρ} x^{2} + \frac{F}{2 ρ} x_{0}^{2} - \frac{g}{3} x_{0}^{3} = 0$

Una de cuyas raíces es x₀, la posición de partida.

$(x - x_{0}) (\frac{g}{3} x^{2} + (\frac{g}{3} x_{0} - \frac{F}{2 ρ}) x + \frac{g}{3} x_{0}^{2} - \frac{F}{2 ρ} x_{0}) = 0$

La raíz positiva x₁ de la ecuación de segundo grado es

$\begin{array}{l} x = - (\frac{x_{0}}{2} - \frac{3 F}{4 ρ g}) \pm \sqrt{- \frac{3 x_{0}^{2}}{4} + \frac{9 F^{2}}{16 ρ^{2} g^{2}} + \frac{3 F x_{0}}{4 ρ g}} \\ x_{1} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x_{e} - x_{0}) + \frac{1}{2} \sqrt{- 3 x_{0}^{2} + \frac{9}{4} x_{e}^{2} + 3 x_{e} x_{0}} \end{array}$

donde x_e=F/(ρg) es la posición de equilibrio.

Movimiento hacia abajo (v<0)

En el caso del movimiento hacia abajo, la situación es diferente. En un intervalo de tiempo dt, una masa dm de la cadena cuya velocidad es v, choca inelásticamente contra el suelo y se detiene completamente. Esta disminución de momento lineal v·dm de la cadena en el tiempo dt, se debe a su interacción con el suelo, que podemos describir mediante una fuerza hacia arriba F_s= vdm/dt=ρv²

La derivada del momento lineal p de la parte de la cadena que se mueve con respecto al tiempo t es igual a la fuerza resultante

$\begin{array}{l} \frac{d p}{d t} = F - ρ g x + F_{s} v \frac{d m}{d t} + m \frac{d v}{d t} = F - ρ g x + v \frac{d m}{d t} \\ ρ x \frac{d v}{d t} = F - ρ g x \end{array}$

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = \frac{F}{ρ x} - g$

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t₁, x=x₁, v=dx/dt=0.

Cuando x>x_e, el extremo de la cadena incrementa su velocidad hacia abajo, ya que el peso ρgx es mayor que la fuerza aplicada F.
Cuando x<x_e, el extremo de la cadena disminuye su velocidad ya que la fuerza aplicada F es mayor que el peso ρgx.
Cuando la velocidad final se haga cero, (posición de retorno x₂) el movimiento hacia abajo cesa y el extremo de la cadena inicia su movimiento hacia arriba.

Caso particular.

Cuando la fuerza F=0, la cadena cae libremente. La velocidad de caída del extremo libre es v=-g·t. La fuerza que ejerce el suelo para parar los eslabones que caen es

$F_{s} = v \frac{d m}{d t} = ρ v^{2} = ρ {(g t)}^{2}$

Suponemos que v=0, cuando x=L, siendo L la longitud de la cadena. En el instante t, la altura del último eslabón de la cadena es x, y una longitud L-x se encuentra en reposo sobre el suelo.

La reacción N del suelo es la suma de dos términos:

la fuerza F_s que ejerce el suelo para parar los eslabones de la cadena que caen
el peso de la porción (L-x) de cadena que ya está en reposo sobre el suelo

$\begin{array}{l} x = L + \frac{1}{2} (- g) t^{2} \\ N = 2 \frac{M}{L} g (L - x) + \frac{M}{L} g (L - x) = 3 \frac{M}{L} g (L - x) \end{array}$

Siendo M=ρL la masa de la cadena.

Cuando llega el último eslabón de la cadena al suelo x=0.

N=3Mg

Si dejamos caer la cadena sobre el plato de una balanza, ésta medirá una fuerza máxima 3Mg.

Resumiendo: cuando la cadena está completamente levantada con el primer eslabón tocando el plato de la balanza, ésta mide una fuerza nula. Cuando el último eslabón cae sobre el plato, la balanza mide una fuerza máxima igual a tres veces el peso de la cadena. Finalmente, la balanza mide una fuerza igual al peso de la cadena.

Cálculo de la posición de retorno x₂.

Escribimos la ecuación diferencial del movimiento de la forma

$\frac{d v}{d t} = \frac{F}{ρ x} - g v \frac{d v}{d x} = \frac{F}{ρ x} - g$

Integramos

$\begin{array}{l} \int_{0}^{v} v d v = \int_{x_{1}}^{x} (\frac{F}{ρ x} - g) d x \\ \frac{1}{2} v^{2} = \frac{F}{ρ} \ln x - g x - (\frac{F}{ρ} \ln x_{1} - g x_{1}) \end{array}$

En la posición de retorno x₂, la velocidad del extremo de la cadena es v=0.

$x_{e} \ln (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = x_{1} - x_{2}$

donde $x_{e} = \frac{F}{ρ g}$ es la posición de equilibrio.

Conocido x₁ se calcula x₂, resolviendo la ecuación trascendente por el procedimiento numérico del punto medio.

La posición de retorno x₂ es ahora la posición de partida x₀ para el movimiento hacia arriba y así, sucesivamente.

El extremo de la cadena describe una oscilación amortiguada. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el extremo de la cadena se encuentra en la posición de equilibrio x_e.

Actividades

Se introduce

La posición inicial del extremo de la cadena x₀<x_e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura inicial.
La altura de equilibrio se ha fijado en x_e=0.5 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del extremo de la cadena hacia arriba y hacia abajo

Se representan las fuerzas sobre la cadena:

El peso de la parte de la cadena que se mueve
La fuerza F aplicada
En el movimiento hacia abajo, la fuerza que ejerce el suelo sobre la cadena F_s es pequeña en comparación con las otras dos.

Se representa las posiciones de retorno x₀, x₁, x₂,… en una regla situada a la izquierda del applet.

Se representa la altura x del extremo de la cadena en función del tiempo t.

Referencias

Sima V., Podolsky J., Buquoy's problem. Eur. J. Phys. 26 (2005) pp. 1037-1045

van den Berg W. H. Force exerted by a falling chain. The Physics Teacher, 36, January 1998, pp. 44-45