Campo magnético producido por una corriente circular

Procedimiento numérico

Integrales elípticas

Cálculo del campo magnético producido por un solenoide formado por N espiras iguales de radio a, separadas d, en un punto z, y.

El campo magnético producido por una espira de radio a, en un punto de coordenadas z, y. Siendo Z el eje de la espira es en términos de integrales elípticas.

$\begin{array}{l} m = \frac{4 a y}{a^{2} + z^{2} + y^{2} + 2 a y} \\ B_{y} = \frac{μ_{0} i}{2 π} \frac{a}{{(2 a y)}^{3 / 2}} z (- \sqrt{2 m} K (m) + \frac{2 - m}{2 - 2 m} \sqrt{2 m} E (m)) \\ B_{z} = \frac{μ_{0} i}{2 π} \frac{a}{{(2 a y)}^{3 / 2}} (a \frac{m}{2 - 2 m} \sqrt{2 m} E (m) + y \sqrt{2 m} K (m) - y \frac{2 - m}{2 - 2 m} \sqrt{2 m} E (m)) \end{array}$

Supongamos ahora que queremos calcular el campo magnético en el punto y, z producido por N espiras paralelas al plano XY y separadas una distancia d. De modo, que sus posiciones son z=j·d, j=0…N-1

$\begin{array}{l} m_{j} = \frac{4 a y}{a^{2} + {(z - j \cdot d)}^{2} + y^{2} + 2 a y} \\ B_{y} = \sum_{j = 0}^{N - 1} \frac{μ_{0} i}{2 π} \frac{a}{{(2 a y)}^{3 / 2}} (z - j \cdot d) (- \sqrt{2 m_{j}} K (m_{j}) + \frac{2 - m_{j}}{2 - 2 m_{j}} \sqrt{2 m_{j}} E (m_{j})) \\ B_{z} = \sum_{j = 0}^{N - 1} \frac{μ_{0} i}{2 π} \frac{a}{{(2 a y)}^{3 / 2}} (a \frac{m_{j}}{2 - 2 m_{j}} {\sqrt{2 m}}_{j} E (m_{j}) + y \sqrt{2 m_{j}} K (m_{j}) - y \frac{2 - m_{j}}{2 - 2 m_{j}} \sqrt{2 m_{j}} E (m_{j})) \end{array}$

public class Campo {
     public double Bz;
     public double By;
  public Campo(double Bz, double By) {
     this.Bz=Bz;
     this.By=By;
  }
  public double modulo(){
     return Math.sqrt(Bz*Bz+By*By);
  }
}
public class MiCanvas extends Canvas {
     int nEspiras=4, nSeparacion=2;
     double radio=4.0;
//....
Campo calculaCampo(double x, double y){
     double Bz=0.0, By=0.0;
     double z, m; //, angulo, dist;
     double xIzq=x-(nEspiras-1)*nSeparacion/2;
     for(int i=0; i<nEspiras; i++){
         z=xIzq+i*nSeparacion;
         m=4*radio*y/(radio*radio+z*z+y*y+2*radio*y);
        if(Math.abs(y)<0.01){
           By+=0.0;
           Bz+=radio/Math.pow((z*z+radio*radio), 1.5);
          }else{
            Bz+=(radio*m*Math.sqrt(2*m)*Eliptica.segunda(Math.PI/2, Math.sqrt(m))
/(2-2*m)+y*Math.sqrt(2*m)*Eliptica.primera(Math.PI/2, Math.sqrt(m))
-y*(2-m)*Math.sqrt(2*m)*Eliptica.segunda(Math.PI/2, Math.sqrt(m))/(2-2*m))
/(Math.PI*2*y*radio*Math.sqrt(2*radio*y));
            By+=z*(-Math.sqrt(2*m)*Eliptica.primera(Math.PI/2, Math.sqrt(m))+
(2-m)*Math.sqrt(2*m)*Eliptica.segunda(Math.PI/2, Math.sqrt(m))/(2-2*m))
/(Math.PI*2*radio*y*Math.sqrt(2*radio*y));
          }
     }
     return new Campo(Bz, By);
 }
//....

Procedimiento de Simpson

El campo magnético producido por una espira de radio a, en un punto de coordenadas z, y. Siendo Z el eje de la espira es

$\begin{array}{l} B_{y} = \frac{μ_{0}}{2 π} i \cdot a \cdot z \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{\sin φ}{{(a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \sin φ)}^{3 / 2}} d φ \\ B_{z} = \frac{μ_{0}}{2 π} i \cdot a \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{a - y \cdot \sin φ}{{(a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \sin φ)}^{3 / 2}} d φ \end{array}$

Aplicamos el procedimiento de Simpson para obtener el valor de las integrales definidas

public class Campo {
     public double Bz;
     public double By;
  public Campo(double Bz, double By) {
     this.Bz=Bz;
     this.By=By;
  }
  public double modulo(){
     return Math.sqrt(Bz*Bz+By*By);
  }
}
public abstract class Simpson {
  double z;
  double y;
  double radio;
  public Simpson(double radio){
    this.radio=radio;
  }
  public void setPosicion(double z, double y){
    this.z=z;
    this.y=y;
  }
    public double integral(double a, double b, int n){
        if(n%2==1) n++;    //n es par 
        double h=(b-a)/n;
        double suma=f(a)+f(b);
        for(int i=1; i<n; i+=2){
            suma+=4*f(a+i*h);
        }
        for(int i=2; i<n; i+=2){
            suma+=2*f(a+i*h);
        }
        return (suma*h/3);
    }
    abstract public double f(double x);
}
public class Campo_Z extends Simpson{
  public Campo_Z(double radio) {
    super(radio);
  }
   public double f(double angulo){
    double dist=Math.sqrt(z*z+y*y+radio*radio-2*radio*y*Math.sin(angulo));
      return((radio-y*Math.sin(angulo))/dist/dist/dist);
   }

}
public class Campo_Y extends Simpson{
  public Campo_Y(double radio) {
  	super(radio);
  }
   public double f(double angulo){
    double dist=Math.sqrt(z*z+y*y+radio*radio-2*radio*y*Math.sin(angulo));
      return(z*Math.sin(angulo)/dist/dist/dist);
   }

}
public class MiCanvas extends Canvas {
     int nEspiras=4, nSeparacion=2;
     final double radio=4.0;
     Campo_Z c_Z=new Campo_Z(radio);
     Campo_Y c_Y=new Campo_Y(radio);
	 //....
	 
 Campo calculaCampo(double x, double y){
     double Bz=0.0, By=0.0;
     double xp;
     double xIzq=x-(nEspiras-1)*nSeparacion/2;
     for(int i=0; i<nEspiras; i++){
          xp=xIzq+i*nSeparacion;
          c_Z.setPosicion(xp, y);
          c_Y.setPosicion(xp, y);
          Bz+=c_Z.integral(-Math.PI/2, Math.PI/2, 50);
          By+=c_Y.integral(-Math.PI/2, Math.PI/2, 50);
     }
     return new Campo(Bz, By);
 }
 //...
 }