

Campo magnético producido en un punto fuera del eje de la corriente circular
Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo B producido por una corriente i se obtiene
Donde dl es un elemento de corriente, ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente, y ur es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.
El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.
Como vemos en la figura la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dø que está situado en el punto (a·cosø , a·senø , 0) y el punto P (0, y, z) considerado es
Efectuando el producto vectorial ut × ur, nos queda las componentes del campo
La primera integral es inmediata y vale cero Bx=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético
Las componentes del campo B son
Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, Bz y la otra en la dirección radial By.
Cuando y=0, un punto del eje de la espira, podemos comprobar fácilmente que By=0, y que
Para expresar estas integrales en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable
θ=π/2-ø
Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias
Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.
En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con y>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0
Caso particular
Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,
las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2
Como podemos comprobar fácilmente By→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan
Resultado que hemos obtenido previamente.
Actividades
Se introduce
-
La abscisa (y/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Abscisa
-
La ordenada (z/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ordenada
Se pulsa en el botón titulado Calcular
El programa interactivo calcula las componentes By y Bz del campo, su módulo y el ángulo que forma con el eje Y.
Las componentes del campo By y Bz se expresan en términos de (y/a) y (z/a)
El campo en el centro de la espira, z=0, es
El programa interactivo calcula el valor de By y de Bz en unidades del campo en el centro de la espira
Aproximación: Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético
Partimos de nuevo de las ecuaciones
Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que
Podemos aproximar el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo By y Bz.
Donde hemos llamado ahora r a
Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente
El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.
Las dos componentes del campo, By y Bz en el punto P (y, z) las podemos expresar en
una única fórmula.
Donde m=i·πa2 k es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.
En el applet se representa las líneas del campo magnético producido por una bobina de pequeño radio a cuyo momento dipolar magnético m se señala mediante una flecha de color rojo.
Líneas de campo magnético
Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las
líneas de fuerza es
tal como se muestra en la figura.
La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es
Haciendo el cambio de variable
Z=z2, Y=lny
Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v
Igualamos a cero el paréntesis
La ecuación queda
La solución de la ecuación diferencial es,
donde C es una constante de integración
Deshaciendo el cambio de variable
Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud
En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=0.25, 0.5, 0.75 y 1.0
Referencias
Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.
Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-57
Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universitat de Lleida.

