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Campo producido por un solenoide en un punto de su eje

Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide sumando el campo producido por las N espiras.

En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado por N espiras iguales de radio a.

En la página anterior, obtuvimos la expresión del campo magnético producido por una espira de radio a en un punto P de su eje distante x.

${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{2{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)}^3}}$

Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn=N·dx/L

Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras

${\displaystyle dB=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{2{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)}^3}\frac{N}{L}dx}$

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ , y teniendo en cuenta que 1+tan²θ =1/cos²θ , simplificamos mucho la integral

${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}iN}{2L}{\displaystyle \underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}-\sin \theta ·d\theta }=\frac{{\mu }_{0}iN}{2L}\left(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1\right)}$

Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si el punto P está situado en el centro, tendremos que ${\theta }_1\to \pi \text{y}{\theta }_2\to 0$ . El campo B vale entonces

${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}iN}{L}}$

Representamos ahora, el campo B en unidades del campo en el centro del solenoide, en función de la posición x del punto P, situando el origen de coordenadas en el centro del solenoide, tal como se muestra en la figura, más abajo.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{B}{B_0}=\frac{1}{2}\left(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1\right)\\ \cos {\theta }_2=\frac{L/2-x}{\sqrt{{(L/2-x)}^2+a^2}}\cos {\theta }_1=\frac{-L/2-x}{\sqrt{{(-L/2-x)}^2+a^2}}\end{array}}$

El campo magnético es prácticamente uniforme en el interior del solenoide, en los extremos del solenoide se reduce a la mitad del campo magnético en el centro.

El solenoide. Ley de Ampère

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère.

${\displaystyle {\displaystyle \oint B·dl}={\mu }_{0}I}$

El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino cerrado y en el segundo miembro, el término i se refiere a la intensidad que atraviesa dicho camino cerrado.

Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.

${\displaystyle {\displaystyle \oint B·dl}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{B}{\overset{C}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{C}{\overset{D}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{D}{\overset{A}{\int }}B·dl}}$

Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación:

1. Como vemos en la figura, la contribución a la circulación del lado AB es cero ya que bien B y dl son perpendiculares o bien, B es nulo en el exterior del solenoide.
2. Lo mismo ocurre en el lado CD.
3. En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero.
4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribución a la circulación es Bx, siendo x la longitud de dicho lado.

La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:

Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá Nx/L espiras. Como cada espira trasporta una corriente de intensidad i, la corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD es Nx·i/L.

La ley de Ampère se escribe para el solenoide.

${\displaystyle Bx={\mu }_0\frac{Nx}{L}iB=\frac{{\mu }_{0}N}{L}i}$

Para visualizar las líneas líneas del campo del campo magnético, se emplean limaduras de hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del experimentador.

En el programa interactivo se calcula, aplicando la ley de Biot-Savart, el campo magnético producido por cada espira en un punto fuera del eje, tal como s eexplica en la siguiente página. Posteriormente, determina el campo magnético resultante, sumando vectorialmente el campo producido por cada espira en dicho punto. Finalmente, se trazan las líneas del campo magnético que pasan por puntos equidistantes a lo largo del diámetro del solenoide.

Podemos ver el mapa de las líneas del campo magnético de:

• Una espira circular
• Dos espiras, esta disposición simula las denominadas bobinas de Helmholtz, utilizadas en el laboratorio para producir campos magnéticos aproximadamente uniformes en la región entre las dos bobinas.
• Muchas espiras iguales y equidistantes, que simula el solenoide.

Se introduce

• El número de espiras N en el control de edición titulado nº de espiras
• La separación entre las espiras, en el control de edición titulado Separación

Se pulsa el botón titulado Dibujar

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universitat de Lleida.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García