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Electrómetro de placas

Carga constante

Conectamos el condensador plano-paralelo a una batería que carga las placas del condensador con una carga q. A continuación, desconectamos la batería.

Supongamos que la separación entre las placas del condensador es x, y mediante una fuerza mecánica externa F_m igual y opuesta a la fuerza de atracción electrostática F_e aumentamos la separación entre las placas en dx.

El trabajo dW_m=F_m·dx realizado por la fuerza mecánica se invierte en modificar la energía U=q²/(2C) almacenada por el condensador en forma de campo eléctrico. Como la batería está desconectada no suministra ninguna energía al condensador durante este proceso, por lo que dW_m=dU

${\displaystyle F_m=-\frac{q^2}{2C^2}{\left(\frac{dC}{dx}\right)}_q}$

Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε₀·S/x, la fuerza vale

${\displaystyle F_m=\frac{q^2}{2{\epsilon }_{0}S}}$

Cuando la placa del condensador se desplaza Δx la capacidad disminuye, la energía del condensador aumenta

${\displaystyle \Delta U_c=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C\text{'}}-\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}=\frac{q^2}{2}\frac{x+\Delta x}{{\epsilon }_{0}S}-\frac{q^2}{2}\frac{x}{{\epsilon }_{0}S}=\frac{q^2}{2}\frac{\Delta x}{{\epsilon }_{0}S}}$

El trabajo realizado por la fuerza exterior F_m=F_e para incrementar la separación de las placas es

${\displaystyle W_m={\displaystyle \underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}\frac{1}{2}\frac{q^2}{{\epsilon }_{0}S}dx}=\frac{1}{2}\frac{q^2}{{\epsilon }_{0}S}(x+\Delta x-x)=\frac{q^2}{2}\frac{\Delta x}{{\epsilon }_{0}S}}$

El trabajo realizado por la fuerza exterior F_m se emplea en incrementar la energía ΔU_c del condensador

Paradoja

El campo eléctrico en el condensador es constante y su valor es σ/ε₀ o bien, q/(Sε₀), la fuerza que ejerce este campo sobre la placa cargada es q²/(Sε₀), que es el doble de lo que hemos deducido. ¿Cómo se entiende estos dos resultados dispares?.

Imaginemos que la carga en la superficie de la placa ocupa una capa delgada, como se indica en la figura, el campo variará desde cero en la superficie interna de la capa hasta σ/ε₀ en el espacio entre las placas. El campo medio que actúa sobre la carga situada en la capa delgada es σ/(2ε₀ ), y por tanto las fuerza sobre la carga situada en la capa delgada es qσ/(2ε₀ )=q²/(Sε₀). Esta es la razón del factor 1/2 que aparece en la expresión de la fuerza que hemos deducido. (Véase Feynman)

La fuerza de atracción entre las placas F_e=-F_m es constante e independiente de su separación x. La fuerza F_e la podemos obtener a partir de la energía almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador U=q²/(2C), mediante la expresión.

${\displaystyle F_e=-{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_q}$

Potencial constante

La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas de un condensador plano-paralelo cargado. Una de las placas del condensador cuelga de un brazo de una balanza, en el otro brazo se colocan pesas.

Las placas del condensador se ponen en contacto con una fuente ajustable de alto voltaje, que va variando poco a poco hasta que la balanza se pone en equilibrio. Un anillo metálico que rodea a la placa superior minimiza los efectos del campo que sale por los bordes de las placas paralelas. Para aislar el dispositivo de posibles influencias externas se coloca dentro de una caja metálica (jaula de Faraday)

Vamos a determinar la fuerza F_e de atracción entre las placas, suponiendo que el condensador tiene inicialmente una capacidad C, y las placas están cargadas con una carga q tal que q=C·V

Incrementamos en dx la separación entre las placas ejerciendo una fuerza mecánica exterior F_m sobre la placa móvil igual y opuesta a la fuerza de atracción eléctrica F_e entre las placas.

El trabajo realizado por la fuerza mecánica es dW_m=F_m·dx

Si las placas del condensador se mantienen a una diferencia de potencial constante V mediante una batería, al modificarse la capacidad, la batería realiza un trabajo para suministrar o retirar una carga dq=V·dC. Este trabajo vale

dW_V=V·dq=V²·dC

El trabajo total realizado sobre el condensador modifica la energía U=CV²/2 almacenada en el mismo en forma de campo eléctrico.

dU= dW_V+ dW_m

Como V es constante, tenemos que

½V²·dC=V²·dC+F_m·dx

Despejamos la fuerza F_m

${\displaystyle F_m=-\frac{V^2}{2}{\left(\frac{dC}{dx}\right)}_V}$

Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε₀·S/x

${\displaystyle F_m=\frac{{\epsilon }_{0}S{V}^2}{2}\frac{1}{x^2}}$

La fuerza de atracción entre las placas F_e=-F_m es inversamente proporcional al cuadrado de su separación x. La fuerza F_e la podemos obtener también, a partir de la energía U=CV²/2 almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador, mediante la expresión.

${\displaystyle F_e={\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_V}$

Cuando la placa del condensador se desplaza Δx la capacidad disminuye, la energía del condensador disminuye.

${\displaystyle \Delta U_c=\frac{1}{2}C\text{'}{V}^2-\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}S}{x+\Delta x}{V}^2-\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}S}{x}{V}^2=-\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}{\epsilon }_{0}S{V}^2}$

La fuerza F_m=F_e que debemos de hacer para desplazar la placa, de acuerdo a la argumentación del punto anterior.

${\displaystyle F_m=\frac{1}{2}\frac{q^2}{S{\epsilon }_0}=\frac{1}{2}\frac{C^2}{S{\epsilon }_0}{V}^2=\frac{1}{2}\frac{S{\epsilon }_0}{x^2}{V}^2}$

El trabajo de esta fuerza es

${\displaystyle W_m={\displaystyle \underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}\frac{1}{2}\frac{S{\epsilon }_0}{x^2}{V}^{2}dx}=\frac{1}{2}S{\epsilon }_0{V}^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\Delta x}\right)=\frac{1}{2}S{\epsilon }_0{V}^2\left(\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}\right)}$

A medida que se separa las placas, decrece la capacidad, las placas pierden carga que va a la batería.

${\displaystyle \Delta q=C\text{'}V-CV=\frac{{\epsilon }_{0}S}{x+\Delta x}V-\frac{{\epsilon }_{0}S}{x}V=-{\epsilon }_{0}SV\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}}$

El trabajo realizado sobre la batería es el producto de la pérdida de carga que experimenta el condensador por la ddp V de la batería

${\displaystyle W_b=\left|\Delta q\right|V=-{\epsilon }_{0}S{V}^2\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}}$

La batería gana energía que proviene, la mitad, de la disminución de la energía condensador ΔU_c y la otra mitad, del trabajo realizado por la fuerza externa W_m.

Actividades

En el applet se trata de medir una tensión desconocida V, mediante un electrómetro formado por dos placas planas y paralelas.

La diferencia de potencial V se calcula midiendo la fuerza F entre las placas, conocidos los datos de la distancia x entre las placas y el área S de las mismas. El programa ha fijado:

• La separación entre placas, x=2 mm=0.002 m
• El radio de la placa circular en 10 cm, de modo que S=π(0.1)²

Cuando se pulsa el botón titulado Nuevo, se genera un número aleatorio que representa la tensión V desconocida de una batería.

Cuando se pulsa el botón titulado Conectar, las placas del condensador se conectan a dicha batería, atrayéndose entre sí. La balanza se desequilibra ya que su brazo está unido a la placa superior del condensador, y tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de atracción F.

Moviendo los cursores de la balanza (flechas de color azul, rojo y negro) equilibramos la balanza y medimos la fuerza en miligramos.

Ejemplo:

Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar 22.1 mg.

Sabiendo que el radio de las placas circulares es 10 cmy que su separación es de 2 mm. Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades adecuadas.

${\displaystyle 22.1\cdot {10}^{-6}\cdot 9.8=\frac{\pi ·{0.1}^2\cdot V^2}{4\pi 9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {0.002}^2}V=79.0\text{V}}$

Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo 79.0 V, pulsando en el botón titulado Respuesta.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Feynman R. Leighton, Sands . The Feynman lectures on Physics on physics. Vol II Electromagnetismo y materia, 8-2, Fondo Educativo Interamericano 1972.

Greene N. R. Energy flow for a variable-gap capacitor. The Physics Teacher, Vol 43, September 2005, pp. 340-343

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García