Acelerador de partículas cargadas. El ciclotrón

Frecuencia de resonancia del ciclotrón

Ahora analizamos el papel del periodo de la fem alterna conectada a las dos D's. En el apartado anterior, el semiperiodo de la fem alterna coincidía con el tiempo que tarda el ión en describir una semicircunferencia que es independiente de su radio r

$P_{\frac{1}{2}} = \frac{π r}{v} = \frac{π m}{q B}$

Vamos a ver cómo cambia la trayectoria del ión cuando estos dos tiempos no coinciden

A partir del dato de la intensidad del campo magnético, podemos obtener el valor de P_1/2 teniendo en cuenta que

El campo magnético está en gauss (un gauss = 0.0001 T)
Una unidad de masa atómica vale 1.67·10^-27 kg.
La carga del ión vale 1.6·10^-19 C

Ejemplo

Se elige como partícula el protón m=1.67·10^-27 kg y carga q=1.6·10^-19 C
Campo magnético B=200 gauss=200·10^-4 T
Diferencia de potencial entre las D's, V=500 V
El semiperiodo de la fem alterna 1.0 μs=1.0·10^-6 s

La partícula cargada parte del reposo v₀=0, y se acelera por la diferencia de potencial V existente entre las dos D’s, ganado una energía qV.

$q V = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} 1 {.6·10}^{-19} \cdot 500 = \frac{1}{2} 1.67 \cdot 10^{- 27} v_{1}^{2} v_{1} = 309.5 \cdot 10^{3} m/s$

La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r₁

$r_{1} = \frac{m v_{1}}{q B} r_{1} = \frac{1.67 \cdot 10^{- 27} \cdot 309.5 \cdot 10^{3}}{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 200 \cdot 10^{- 4}} = 0.162 m = 16 .2 cm$

El tiempo t₁ que tarda la partícula en recorrer la semicircunferencia es

$t_{1} = \frac{π r_{1}}{v_{1}} t_{1} = 1.63 \cdot 10^{- 6} s = 1 .64 μ s$

Como el periodo de la fem alterna es de 2·1.0=2.0 μs. Cuando la partícula completa su trayectoria semicircular encuentra que el campo existente entre las dos D’s acelera la partícula cargada, ganando una energía qV

Su velocidad v₂ es

$2 q V = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} v_{2} = 437.7 \cdot 10^{3} m/s$

La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r₁

$r_{2} = \frac{m v_{2}}{q B} r_{2} = 0.228 m = 22 .8 cm$

El tiempo que tarada en describir la semicircunferencia es

$t_{2} = \frac{π r_{2}}{v_{2}} = \frac{π m}{q B} t_{2} = 1.63 \cdot 10^{- 6} s = 1 .64 μ s$

que como vemos es independiente del radio

Completa la segunda semicircunferencia en el instante 2·1.64=3.28 μs

En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo una energía qV. Como la energía de la partícula es qV, su velocidad es v₃=v₁, describe una semicircunferencia de radio r₃=r₁empleando un tiempo de 1.64 μs en completarla.

Completa la tercera semicircunferencia en el instante 3·1.64=4.92 μs

En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo la energía qV que le quedaba, su velocidad final es v₄=0

Actividades

Se selecciona el ión que se va a acelerar, en el control selección titulado Partícula .

Se introduce

la intensidad del campo magnético (en gauss=10^-4 T), en el control de edición titulado Campo magnético
la diferencia de potencial (en volts) entre las 'Ds', en el control de edición titulado Diferencia de potencial
el tiempo en microsegundos (1μs=10^-6 s) que corresponde a un semiperiodo del potencial alterno, en el control de edición titulado Semiperiodo

Se pulsa en el botón Empieza.

Se pulsa el botón Pausa, si queremos parar dicho movimiento, por ejemplo para medir el tiempo que tarda el ión en describir una semicircunferencia. Se pulsa el mismo botón titulado ahora Continua, para que seguir el movimiento normal.

Se pulsa varias veces el botón titulado Paso, para mover el ión un pequeño intervalo de tiempo cada vez. Por ejemplo, para acercarnos a la región entre las D's. Se pulsa el botón Continua para proseguir el movimiento normal.

A medida que transcurre el tiempo, vemos como cambia la polaridad de los terminales marcados con los signos + y - situados en la parte inferior del ciclotrón. Una flecha en la región ente las dos D's indica el sentido del campo eléctrico en la región entre las dos D's

Si no introducimos el tiempo adecuado, observamos que el campo eléctrico existente en la región comprendida entre las dos D's acelera primero los iones y luego, los frena hasta que eventualmente los para, en ese momento se deja de trazar la trayectoria.

CiclotronApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.