La ley de enfriamiento de Newton en un recinto de tamaño finito

En las páginas anteriores, hemos aplicado la ley del enfriamiento de Newton a un cuerpo caliente que pierde calor y como consecuencia disminuye su temperatura. La atmósfera que le rodea gana el calor perdido por el cuerpo, pero no incrementa su temperatura ya que consideramos que tiene un tamaño infinito.

En esta página, vamos a estudiar la situación en la que un cuerpo caliente se coloca en un recinto de tamaño finito aislado térmicamente, tal como se muestra en la figura.

Descripción

El cuerpo caliente tiene una masa m₁ y su calor específico es c₁, por tanto, su capacidad calorífica es C₁=m₁·c₁. En el instante t su temperatura es T₁
El recinto tiene una masa m₂ y su calor específico es c₂, por tanto, su capacidad calorífica es C₂=m₂·c₂. En el instante t su temperatura es T₂<T₁.

El cuerpo caliente en el intervalo de tiempo entre t y t+dt pierde una cantidad de calor dQ, su temperatura disminuye

dQ=-C₁·dT₁

Como el recinto está térmicamente aislado, en el mismo intervalo de tiempo gana una cantidad de calor dQ y su temperatura aumenta

dQ=C₂·dT₂

El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado por el recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, la temperatura del recinto aumenta

-C₁·dT₁=C₂·dT₂

Supondremos que la pérdida de calor del cuerpo caliente obedece a la ley del enfriamiento de Newton

$\frac{d Q}{d t} = α S (T_{1} - T_{2})$

Donde α es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T₁ del cuerpo con el tiempo es

$- C_{1} \frac{d T_{1}}{d t} = α S (T_{1} - T_{2})$

Para eliminar la variable T₂, derivamos con respecto del tiempo

$\begin{array}{l} C_{1} \frac{d^{2} T_{1}}{d t^{2}} + α S \frac{d T_{1}}{d t} - α S \frac{d T_{2}}{d t} = 0 \\ \frac{d^{2} T_{1}}{d t^{2}} + α S \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1} \cdot C_{2}} \frac{d T_{1}}{d t} = 0 \\ \frac{d^{2} T_{1}}{d t^{2}} + k \frac{d T_{1}}{d t} = 0 k = α S \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1} \cdot C_{2}} \end{array}$

La solución de la ecuación diferencial es

$\begin{array}{l} T_{1} = A_{1} + B_{1} \cdot \exp (- k \cdot t) \\ \frac{d T_{1}}{d t} = - k B_{1} \exp (- k \cdot t) \end{array}$

Las constantes A₁ y B₁ se determinan a partir de las condiciones iniciales, la temperatura inicial y su derivada. En el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T₀₁

A₁+B₁=T₀₁

Su derivada en el instante t=0 vale

$\begin{array}{l} {- C_{1} \frac{d T_{1}}{d t} |}_{t = 0} = α S (T_{01} - T_{02}) \\ C_{1} k B_{1} = α S (T_{01} - T_{02}) \end{array}$

La solución de la ecuación diferencial es

$T_{1} = \frac{C_{1} T_{01} + C_{2} T_{02}}{C_{1} + C_{2}} + \frac{C_{2} (T_{01} - T_{02})}{C_{1} + C_{2}} \exp (- k \cdot t)$

La temperatura T₂ del recinto en función del tiempo se calcula del siguiente modo

$\begin{array}{l} T_{2} = A_{2} + B_{2} \cdot \exp (- k \cdot t) \\ \frac{d T_{2}}{d t} = - k B_{2} \exp (- k \cdot t) \end{array}$

Las constantes A₂ y B₂ se determinan a partir de las condiciones iniciales, la temperatura inicial y su derivada. En el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T₀₂

A₂+B₂=T₀₂

Su derivada en el instante t=0 vale

$\begin{array}{l} {- C_{1} \frac{d T_{1}}{d t} |}_{t = 0} = {C_{2} \frac{d T_{2}}{d t} |}_{t = 0} \\ C_{1} k B_{1} = - C_{2} k B_{2} \end{array}$

La temperatura del recinto en función del tiempo es

$T_{2} = \frac{C_{1} T_{01} + C_{2} T_{02}}{C_{1} + C_{2}} - \frac{C_{1} (T_{01} - T_{02})}{C_{1} + C_{2}} \exp (- k \cdot t)$

En la figura, se muestra la evolución de temperaturas del cuerpo T₁ y del recinto T₂ en función del tiempo t.

Cuando t→∞, el cuerpo y el recinto alcanzan la misma temperatura que es la media ponderada.

$T_{1} = T_{2} = \frac{C_{1} T_{01} + C_{2} T_{02}}{C_{1} + C_{2}}$

En la práctica, se alcanza el equilibrio al cabo de cierto tiempo que depende del valor de la constante de tiempo τ=1/k. Si la constante de tiempo τ es pequeña, el estado de equilibrio se alcanza después de poco tiempo.

Las temperaturas T₁ del cuerpo y T₂ del recinto se expresan en función del tiempo t.

$\begin{array}{l} T_{1} = \frac{(C_{1} / C_{2}) T_{01} + T_{02}}{(C_{1} / C_{2}) + 1} + \frac{(T_{01} - T_{02})}{(C_{1} / C_{2}) + 1} \exp (- k \cdot t) k = α S \frac{(C_{1} / C_{2}) + 1}{C_{1}} \\ T_{2} = \frac{(C_{1} / C_{2}) T_{01} + T_{02}}{(C_{1} / C_{2}) + 1} - \frac{(C_{1} / C_{2}) (T_{01} - T_{02})}{(C_{1} / C_{2}) + 1} \exp (- k \cdot t) \end{array}$

Cuando la capacidad calorífica del recinto C₂es muy grande (C₁/C₂) →0

$\begin{array}{l} T_{1} = T_{02} + (T_{01} - T_{02}) \exp (- k \cdot t) k = α S \frac{1}{C_{1}} \\ T_{2} = T_{02} \end{array}$

Que es la expresión de la ley del enfriamiento de Newton

Ejemplo:

Temperaturas iniciales: T₀₁=80, T₀₂=20
Capacidades caloríficas: C₁=0.2 y C₂=1-0.2=0.8
La constante de proporcionalidad en la ley del enfriamiento de Newton: αS= 0.0005.

La temperatura de equilibrio y la constante k valen

$\begin{array}{l} T_{1} = T_{2} = \frac{0.2 \cdot 80 + 0.8 \cdot 20}{0.2 + 0.8} = 32 ºC \\ k = 0.0005 \cdot \frac{0.2 + 0.8}{0.2 \cdot 0.8} = 0.003125 s^{-1} \end{array}$

La constante de tiempo τ=1/k vale τ=320 s=5.33 min

$\begin{array}{l} T_{1} = 32 + 48 \cdot \exp (- t / 320) \\ T_{2} = 32 - 12 \cdot \exp (- t / 320) \end{array}$

En el instante t=10 min=600 s las temperaturas valen T₁=39.4 y T₂=30.2ºC
En el instante t=35 min=2100 s las temperaturas son casi iguales T₁=32.1 y T₂=32.0ºC

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se introduce

La temperatura inicial T₀₁ del cuerpo de color azul claro situado a la izquierda, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura A.
La temperatura inicial T₀₂ del cuerpo de color rosa situado a la derecha, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura B.
Actuando con el ratón sobre el pequeño rectángulo de color rojo, cambiamos el tamaño de los cuerpos, estableciendo los valores de sus capacidades caloríficas, C₁ para el cuerpo de color azul claro de la izquierda y C₂=1-C₁ para el cuerpo de color rosa de la derecha.
Se ha fijado el valor de la constante de proporcionalidad en la ley del enfriamiento de Newton, en el valor arbitrario αS= 0.0005.

Se activa la casilla Gráfica si se desea la representación gráfica de T₁ y T₂ en función del tiempo t. Se desactiva, si se desea la simulación del experimento

Se pulsa el botón titulado Empieza

Referencias

Maurone P. A., Shiomos C. Newton's law of cooling with finite reservoirs. Am. J. Phys. 51 (9) September 1983, pp. 857-859