Ley del enfriamiento de Newton

Se calienta una placa expuesta al Sol

Consideremos una placa de área A y espesor e, que está a la temperatura ambiente T₀. La superficie de la placa de área A está pintada de negro. En un instante dado, se expone al Sol que ilumina la placa con una intensidad constante de I W/m². Vamos a determinar la evolución de la temperatura T de la placa a medida que transcurre el tiempo.

Supondremos que la superficie de la placa pintada de negro absorbe toda la energía solar que recibe, en cada segundo I·A

Supondremos aplicable la ley de enfriamiento de Newton, por lo que la placa pierde en cada segundo una energía

αS(T-T₀)

donde T es la temperatura de la placa, S es el área de la placa en contacto con el ambiente y α es un parámetro a determinar experimentalmente.

La variación de la temperatura T de la placa con el tiempo se obtiene integrando la ecuación diferencial de primer orden

$m c \frac{d T}{d t} = - α S (T - T_{0}) + I \cdot A$

donde m=ρAe es la masa de la placa y c es el calor específico y ρ la densidad del material que está hecha la placa.

$\frac{d T}{d t} + k T = k T_{\infty} k = \frac{α S}{ρ A e c} T_{\infty} = T_{0} + \frac{I}{ρ e c k}$

Integramos la ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, la temperatura de la placa es T₀.

$T = (T_{0} - T_{\infty}) \exp (- k t) + T_{\infty}$

Al cabo de un tiempo muy grande t→∞ la placa alcanza la máxima temperatura T_∞.

Enfriamiento de la placa

Al cabo de un cierto tiempo t, la placa alcanza una temperatura T_f y en ese momento, se deja de iluminar, la placa se enfría. La ley de enfriamiento de Newton es

$\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{0})$

Resolvemos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0 (ponemos el contador de tiempo a cero), la temperatura de la placa es T_f

T=T₀+(T_f-T₀)exp(-kt)

La temperatura disminuye exponencialmente con el tiempo hasta que en un tiempo muy grande t→∞ la temperatura de la placa se iguala a la temperatura ambiente T₀.

Las ecuaciones calentamiento y enfriamiento de la placa son similares a las de la carga y descarga de un condensador.

Actividades

Se introduce

La intensidad de la energía de la radiación solar que ilumina la placa en W/m² actuando en la barra de desplazamiento titulada Intensidad sol
La temperatura ambiente T₀ en grados centígrados, actuando en la barra de desplazamiento titulada T. ambiente.
El espesor de la placa e, en mm en el control de edición titulado Espesor
El material de la placa es aluminio ρ=2700 kg/m³ y c=880 J/(kgºC)

Se pulsa el botón titulado Empieza

La placa se calienta e incrementa su temperatura durante 20 minutos=1200 s hasta alcanzar la temperatura final T_f. Después se deja de iluminar la placa y esta se enfría.

En color rojo se dibuja la curva de calentamiento y en color azul la de enfriamiento.

La línea de puntos de color rojo es la asíntota horizontal T_∞ de la curva que describe el calentamiento de la placa.

Ejemplo:

Intensidad de la radiación solar I=700 W/m²
Temperatura ambiente T₀=20ºC
Espesor de la placa e=2 mm
Material aluminio: ρ=2700 kg/m³ y c=880 J/(kgºC)

Se ilumina la placa, al cabo de 1200 s alcanza una temperatura de T_f=71.3 ºC

Se deja de iluminar la placa, se pone el contador de tiempo a cero, y al cabo de t=1000 s la temperatura ha bajado a 23.2 ºC

Conocida la temperatura inicial T_f =71.3º y al cabo de un tiempo t=1000 s, T=23.2 durante el enfriamiento calculamos la constante k.

T=T₀+(T_f-T₀)exp(-kt)

23.2=20+(71.3-20)exp(-k·1000)

$- k \cdot 1000 = \ln (\frac{3.2}{51.3}) k = 2.77 \cdot 10^{- 3} s^{- 1}$

La máxima temperatura que alcanza la placa cuando se ilumina indefinidamente t→∞ es

$T_{\infty} = T_{0} + \frac{I}{ρ e c k} T_{\infty} = 20 + \frac{700}{2700 \cdot 0.002 \cdot 880 \cdot 2.77 \cdot 10^{- 3}} = 73.1 º C$

Referencias

Gil S., Mayochi M., Pelliza L. J., Experimental estimation of the luminosity of the Sun. Am. J. Phys. 74 (8) August 2006, pp. 728-733