El ciclo de Carnot

Motores de combustión interna. Laboratorio de Física. E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo)

Se define ciclo de Carnot como un proceso cíclico reversible que utiliza un gas perfecto, y que consta de dos transformaciones isotérmicas y dos adiabáticas, tal como se muestra en la figura.

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La representación gráfica del ciclo de Carnot en un diagrama p-V es el siguiente

Tramo A-B isoterma a la temperatura T₁

Tramo B-C adiabática

Tramo C-D isoterma a la temperatura T₂

Tramo D-A adiabática

En cualquier ciclo, tenemos que obtener a partir de los datos iniciales:

La presión, volumen de cada uno de los vértices.
El trabajo, el calor y la variación de energía interna en cada una de los procesos.
El trabajo total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo.

Los datos iniciales son los que figuran en la tabla adjunta. A partir de estos datos, hemos de rellenar los huecos de la tabla.

Variables	A	B	C	D
Presión p (atm)	p_A
Volumen V (litros)	V_A	V_B
Temperatura T (K)	T₁	T₁	T₂	T₂

Las etapas del ciclo

Para obtener las variables y magnitudes desconocidas emplearemos las fórmulas que figuran en el cuadro-resumen de las transformaciones termodinámicas.

Transformación A->B (isoterma)

La presión p_B se calcula a partir de la ecuación del gas ideal $p_{B} V_{B} = n R T_{1}$

Variación de energía interna $Δ U_{A \to B} = 0$

Trabajo $W_{A \to B} = n R T_{1} \ln \frac{V_{B}}{V_{A}}$

Calor $Q_{A \to B} = W_{A \to B}$

Transformación B->C (adiabática)

La ecuación de estado adiabática es $p V^{γ} = cte$ o bien, $T V^{γ - 1} = cte$ . Se despeja V_c de la ecuación de la adiabática $T_{1} V_{B}^{γ - 1} = T_{2} V_{C}^{γ - 1}$ . Conocido V_c y T₂ se obtiene p_c, a partir de la ecuación del gas ideal. $p_{C} V_{C} = n R T_{2}$ .

Calor $Q_{B \to C} = 0$

Variación de energía interna $Δ U_{B \to C} = n c_{v} (T_{2} - T_{1})$

Trabajo $W_{B \to C} = - Δ U_{B \to C}$

Transformación C->D (isoterma)

Variación de energía interna $Δ U_{C \to D} = 0$

Trabajo $W_{C \to D} = n R T_{2} \ln \frac{V_{D}}{V_{C}}$

Calor $Q_{C \to D} = W_{C \to D}$

Transformación D-> A (adiabática)

Se despeja V_Dde la ecuación de la adiabática $T_{1} V_{A}^{γ - 1} = T_{2} V_{D}^{γ - 1}$ . Conocido V_D y T₂ se obtiene p_D, a partir de la ecuación del gas ideal. $p_{D} V_{D} = n R T_{2}$ .

Calor $Q_{D \to A} = 0$

Variación de energía interna $Δ U_{D \to A} = n c_{v} (T_{1} - T_{2})$

Trabajo $W_{D \to A} = - Δ U_{D \to A}$

A partir de las ecuaciones de las dos adiabáticas, podemos probar que la relación entre los volúmenes de los vértices es

$\frac{V_{B}}{V_{A}} = \frac{V_{C}}{V_{D}}$ ,

El ciclo completo

Variación de energía interna

$Δ U = Δ U_{B \to C} + Δ U_{D \to A} = 0$

En un proceso cíclico reversible la variación de energía interna es cero

Trabajo

$W = W_{A \to B} + W_{B \to C} + W_{C \to D} + W_{D \to A} = n R (T_{1} - T_{2}) \ln \frac{V_{B}}{V_{A}}$

Los trabajos en las transformaciones adiabáticas son iguales y opuestos.

Calor

En la isoterma T₁ se absorbe calor Q>0 ya que V_B>V_A de modo que $Q_{a b s} = n R T_{1} \ln \frac{V_{B}}{V_{A}}$

En la isoterma T₂ se cede calor Q<0 ya que V_D<V_C

Rendimiento del ciclo

Se define rendimiento como el cociente entre el trabajo realizado y el calor absorbido

$η = \frac{W}{Q_{a b s}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$

Ejemplo

Un gas diatómico, cv=5R/2, describe el ciclo de Carnot de la figura. Las transformaciones A-B y C-D son isotermas y las transformaciones B-C y D-A son adiabáticas.

Hallar los valores de la presión, el volumen, y la temperatura de cada uno de los vértices A, B, C y D a partir de los datos suministrados en la figura.
Calcular de forma explícita el trabajo en cada una de las transformaciones, la variación de energía interna, y el calor.
Hallar el rendimiento del ciclo, y comprobar que coincide con el valor dado por la fórmula del rendimiento de un ciclo de Carnot.

Dato: R=8.314 J/(K mol)=0.082 atm.l/(K mol)

Presión y volumen de los cuatro vértices

$\begin{array}{l} c_{p} = c_{v} + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R γ = \frac{c_{p}}{c_{v}} = \frac{7}{5} \\ p V = n R T 10 \cdot 2 = n R \cdot 850 n R = \frac{2}{85} \\ A \to B (isoterma) 10 \cdot 2 = 8 \cdot V_{B} V_{B} = 2.5 litros T_{A} = T_{B} = 850 K \\ B \to C (adiabática) T_{B} V_{B}^{γ - 1} = T_{C} V_{C}^{γ - 1} 850 \cdot {2.5}^{2 / 5} = 310 \cdot V_{C}^{2 / 5} V_{C} = 31.12 litros \\ P_{C} V_{C} = n R T_{C} P_{C} \cdot 31.12 = \frac{2}{85} 310 P_{C} = 0.23 atm \\ C \to D (isoterma) T_{C} = T_{D} = 310 K \\ A \to D (adiabática) T_{A} V_{A}^{γ - 1} = T_{D} V_{D}^{γ - 1} 850 \cdot 2^{2 / 5} = 310 \cdot V_{D}^{2 / 5} V_{D} = 24.90 litros \\ P_{D} V_{D} = n R T_{D} P_{D} \cdot 24.90 = \frac{2}{85} 310 P_{D} = 0.29 atm \end{array}$

Vértice	p(atm)	V(l)	T(K)
A	10	2	850
B	8	2.5	850
C	0.23	31.12	310
D	0.29	24.90	310

Trabajo, calor y variación de energía interna en los cuatro procesos

$\begin{array}{l} A \to B (isoterma) \\ Δ U_{A B} = 0 \\ Q_{A B} = W_{A B} = n R T \ln \frac{V_{B}}{V_{A}} = \frac{2}{85} 850 \ln \frac{2.5}{2} = 4.46 atm·l \\ C \to D (isoterma) \\ Δ U_{C D} = 0 \\ Q_{C D} = W_{C D} = n R T \ln \frac{V_{D}}{V_{C}} = \frac{2}{85} 310 \ln \frac{24.90}{31.12} = - 1.62 atm·l \\ B \to C (adiabática) \\ Δ U_{B C} = n c_{v} (T_{C} - T_{B}) = n \frac{5}{2} R (310 - 850) = \frac{2}{85} \frac{5}{2} (310 - 850) = - 31.76 atm·l \\ Q_{B C} = 0 \\ W_{B C} = 31.76 atm·l \\ D \to A (adiabática) \\ Δ U_{D A} = n c_{v} (T_{C} - T_{B}) = n \frac{5}{2} R (850 - 310) = \frac{2}{85} \frac{5}{2} (850 - 310) = 31.76 atm·l \\ Q_{D A} = 0 \end{array}$

Proceso	W(atm·l)	Q(atm·l)	ΔU(atm·l)
A→B	4.46	4.46	0
B→C	31.76	0	-31.76
C→D	-1.62	-1.62	0
D→A	-31.76	0	31.76
Ciclo	2.84		0

Ciclo completo

Trabajo total: W=2.84 atm·l
Calor absorbido: Qabs=4.46 atm·l
Calor cedido: Qced=1.62 atm·l

Rendimiento

$\begin{array}{l} η = \frac{W}{Q_{a b s}} = \frac{2.84}{4.46} = 0.637 \\ η = 1 - \frac{T_{A B}}{T_{C D}} = 1 - \frac{310}{850} = 0.635 \end{array}$

Motor y frigorífico

Un motor de Carnot es un dispositivo ideal que describe un ciclo de Carnot. Trabaja entre dos focos, tomando calor Q₁ del foco caliente a la temperatura T₁, produciendo un trabajo W, y cediendo un calor Q₂ al foco frío a la temperatura T₂.

En un motor real, el foco caliente está representado por la caldera de vapor que suministra el calor, el sistema cilindro-émbolo produce el trabajo y se cede calor al foco frío que es la atmósfera.

La máquina de Carnot también puede funcionar en sentido inverso, denominándose entonces frigorífico. Se extraería calor Q₂ del foco frío aplicando un trabajo W, y cedería Q₁ al foco caliente.

En un frigorífico real, el motor conectado a la red eléctrica produce un trabajo que se emplea en extraer un calor del foco frío (la cavidad del frigorífico) y se cede calor al foco caliente, que es la atmósfera.

Actividades

Introducir los valores de las siguientes variables

Temperatura del foco caliente T₁
Temperatura del foco frío T₂

Se tiene que cumplir que T₁> T₂

El volumen de A, V_A,
El volumen de B, V_B.

Se tiene que cumplir que V_A< V_B

La presión de A, p_A

Si no se cumplen las condiciones anteriores un mensaje nos lo señala en el borde inferior del applet.

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Empieza, el programa interactivo calcula:

La presión y el volumen de cada uno de los vértices
El trabajo, calor y variación de energía interna en cada una de las transformaciones
El trabajo total , el calor absorbido y el calor cedido.