Flotación entre dos líquidos no miscibles

Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:

El aceite que tiene una densidad 0.8 g/cm³ se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1.0 g/cm³ se sitúa en la parte inferior del recipiente.

La densidad del bloque es un número al azar comprendido entre la densidad del aceite 0.8, y la del agua 1.0. Un cuerpo de esta densidad flota entre los dos líquidos.

Principio de Arquímedes

Conociendo que parte del sólido está sumergido en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), se determinará la densidad de dicho cuerpo.

El principio de Arquímedes nos dice que si el bloque está en equilibrio, el peso del bloque debe ser igual al empuje proporcionado por ambos líquidos.

Peso del bloque =empuje del agua + empuje del aceite

ρShg=ρ₂Sxg+ρ₁S(h-x)g

$x = \frac{ρ - ρ_{1}}{ρ_{2} - ρ_{1}} h$

S es el área de la base del bloque, h su altura, y x es la parte del bloque sumergida en agua.

En general, un cuerpo que flota en la superficie del agua, está sumergido en dos fluidos, uno es el agua ρ₂=1000 kg/m³ y el otro es el aire ρ₁=1.29 kg/m³. Habitualmente, se desprecia la densidad del aire frente a la del sólido ρ y la del fluido ρ₂, aplicándose la fórmula aproximada

$x \approx \frac{ρ}{ρ_{2}} h$

Ejemplo

Supongamos que hemos seleccionado un bloque de h=20 cm de altura. Al pulsar el botón Nuevo, observamos que el bloque está sumergido 13 cm en aceite y 7 cm en agua.

ρ·20=0.8·13+1.0·7

Despejando en la fórmula la densidad del sólido, obtenemos el valor de 0.87 g/cm³. Este valor lo podemos comparar con el proporcionado por el programa al pulsar el botón titulado Respuesta.

Ecuación fundamental de la estática de fluidos

Mediante el manómetro vamos a medir las presiones p₁ y p₂ sobre la cara superior e inferior del bloque sumergido.

La cara superior está en el aceite a una profundidad y. La presión p₁ será igual a la atmosférica p₀ más la correspondiente a la altura y de aceite.

p₁=p₀+ρ₁gy

La cara inferior está en el agua. La presión p₂ será igual a la presión atmosférica p₀ más la correspondiente a la altura de aceite (y+h-x) más la correspondiente a la altura de la columna de agua (x)

p₂=p₀+ρ₁g(y+h-x)+ρ₂gx

La fuerza que ejerce el fluido sobre dichas caras será el producto de la presión por el área de su superficie S.

Como podemos ver en la figura, para que haya equilibrio se tiene que cumplir que

p₁S+mg=p₂S

Introduciendo los valores de p₁ y p₂ en esta ecuación y teniendo en cuenta que m=ρ·hS despejamos el valor de x.

$x = \frac{ρ - ρ_{1}}{ρ_{2} - ρ_{1}} h$

Es el mismo resultado que hemos obtenido aplicando el principio de Arquímedes

Ejemplo:

Datos: densidad del agua 1000 kg/m³, densidad del aceite 800 kg/m³, densidad del mercurio 13550 kg/m³

La cara superior está a 22 cm de la superficie libre, la presión debida al aceite es

$\begin{array}{l} p_{1} = 0.22 \cdot 9.8 \cdot 800 = 1724.8 Pa \\ \frac{1724 .8}{13550 \cdot 9 .8} = 0.013 m = 2 \cdot 0.65 cm en el manómetro \end{array}$

La cara inferior está a 42 cm de la superficie libre (35 cm de aceite y 7 cm de agua), la presión debida a ambos líquidos es:

$\begin{array}{l} p_{2} = 800 \cdot 9.8 \cdot 0.35 + 1000 \cdot 9.8 \cdot 0.07 = 3430 Pa \\ \frac{3430}{13550 \cdot 9 .8} = 0.026 m = 2 \cdot 1.3 cm en el manómetro \end{array}$

En el equilibrio se cumple

$1724.8 \cdot S + ρ_{s} S \cdot 0.2 \cdot 9.8 = 3430 \cdot S$

Se obtiene ρ_s=870 kg/m³ ó 0.87 g/cm³

Actividades

Se selecciona la Altura del bloque, puede ser 10, 15, 20 ó 25 cm.

Se pulsa el botón titulado Nuevo, para que un cuerpo sólido cuya densidad está comprendida entre la del aceite y la del agua, flote entre ambos líquidos.

1.-Aplicación del principio de Arquímedes

Medir la parte x del sólido que está sumergida en agua, y calcular la densidad del sólido.

2.-Aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos

Arrastrando la flecha de color rojo con el puntero del ratón, situar la flecha (cápsula de presión) en la cara inferior del paralepípedo. Medir la presión con el manómetro.
Arrastrar la flecha de color rojo con el puntero del ratón hasta situarla en la cara superior del paralepípedo. Medir la presión con el manómetro.
Observar las fuerzas sobre el bloque activando la casilla titulada Fuerzas sobre el bloque.

Se proporcionan los datos de las densidades de los dos líquidos inmiscibles y del líquido manométrico.

Densidad del agua 1000 kg/m³, densidad del aceite 800 kg/m³, densidad del mercurio 13550 kg/m³

Comparar los cálculos efectuados por ambos métodos, y con el que proporciona el programa interactivo pulsando en el botón titulado Respuesta.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Pulse el botón Nuevo y arrastre con el puntero del ratón la flecha de color rojo.