Medida de la viscosidad de los gases

Medida de la viscosidad de un gas mediante un tubo capilar

La ley de Poiseuille para los gases

Supongamos un tubo capilar de radio r y longitud L por el cual fluye un gas cuando la diferencia de presión en sus extremos es p-p₀

La ley de Poiseuille que hemos deducido para un fluido viscoso incomprensible, afirma que el gasto G=dV/dt (volumen de fluido que atraviesa la sección normal del capilar en la unidad de tiempo) es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente (p-p₀)/L.

$\frac{d V}{d t} = \frac{π r^{4}}{8 η} \frac{p - p_{0}}{L}$

Ahora bien, para un gas que fluye a través del tubo capilar, el volumen de gas que entra en la unidad de tiempo a una presión p no es igual al volumen que sale del tubo a la presión p₀ (atmosférica) debido a la comprensibilidad de los gases. Sin embargo, la masa de gas que entra en la unidad de tiempo es igual a la masa de gas que sale en la unidad de tiempo.

Escribimos la ley de Poiseuille de la forma

$\frac{d V}{d t} = \frac{π r^{4}}{8 η} \frac{d p}{d x}$

dV/dt es el volumen de gas que atraviesa la sección normal del tubo capilar situada a una distancia x del extremo del tubo, en la unidad de tiempo. dp/dx es el gradiente de presión en dicha posición.

Teniendo en cuenta la ley de los gases ideales p·V=nRT

n es el número de moles n=m/M ,
m es la masa de gas contenida en el volumen V,
M el peso molecular,
R=8.3143 J/(K·mol) la constante de los gases
T la temperatura absoluta.

$p \cdot d V = \frac{d m}{M} R T$

La ley de Poiseuille se escribe

$(\frac{d m}{d t}) d x = - \frac{M}{R T} \frac{π r^{4}}{8 η} p \cdot d p$

El signo menos aparece por que la presión p del gas disminuye a medida que sale por el tubo capilar

Integramos esta ecuación teniendo en cuenta que dm/dt es constante a lo largo del tubo capilar. La presión en el extremo x=0 del tubo capilar es p y la presión en el otro extremo x=L es p₀ (atmosférica).

$\begin{array}{l} (\frac{d m}{d t}) \int_{0}^{L} d x = - \frac{M}{R T} \frac{π r^{4}}{8 η} \int_{p}^{p_{0}} p \cdot d p \\ (\frac{d m}{d t}) = \frac{M}{R T} \frac{π r^{4}}{16 η L} (p^{2} - p_{0}^{2}) \end{array}$

El dispositivo experimental

En la figura, se muestra la situación inicial del dispositivo. El manómetro de mercurio a la izquierda, el volumen V₀ de la región comprendida entre el mercurio y el tubo capilar, el tubo capilar de longitud L y radio r.

El gas cuya viscosidad se va a medir, se introduce en la región comprendida entre el mercurio del manómetro y el capilar, hasta alcanzar la presión p deseada.

La presión inicial del gas es

p=p₀+2ρgh₀

El volumen inicial del gas es

V=V₀+S·h₀

Siendo S la sección del manómetro

Cuando se alcanza la presión deseada, se abre la llave situada en el extremo del capilar, el gas fluye a través del mismo impulsado por la diferencia de presión p-p₀, la diferencia de alturas 2h de los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro va disminuyendo.

En el instante t la diferencia de alturas de los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h.

La presión p y el volumen V del gas contenido en el recipiente, va cambiando con el tiempo. La masa m de gas contenido en el recipiente, disminuye. La masa que atraviesa la sección normal del capilar en la unidad de tiempo es, aplicando la ley de los gases ideales

$(\frac{d m}{d t}) = - \frac{M}{R T} \frac{d (p V)}{d t}$

Aplicando la ley de Poiseuille al movimiento de un gas a través de un capilar

$\begin{array}{l} - \frac{M}{R T} \frac{d (p V)}{d t} = \frac{M}{R T} \frac{π r^{4}}{16 η L} (p^{2} - p_{0}^{2}) \\ \int_{0}^{t} d t = - \frac{16 η L}{π r^{4}} \int_{h_{0}}^{h} \frac{V \cdot d p + p \cdot d V}{p^{2} - p_{0}^{2}} = \frac{16 η L}{π r^{4}} \int_{h}^{h_{0}} \frac{V \cdot d p + p \cdot d V}{p^{2} - p_{0}^{2}} \end{array}$

Para integrar expresamos el volumen V del gas y su presión p en función de la variable h.

p=p₀+2ρgh dp=2ρg·dh
V=V₀+S·h dV=S·dh

p₀= ρgH, es la presión atmosférica. H=76 cm altura de la columna de mercurio

$\begin{array}{l} t = \frac{16 η L}{π r^{4}} \int_{h}^{h_{0}} \frac{(2 V_{0} + 4 S h + S H)}{4 ρ g h (H + h)} d h = \frac{4 η L}{ρ g π r^{4}} \int_{h}^{h_{0}} \frac{(2 V_{0} + 4 S h + S H)}{h (H + h)} d h = \\ \frac{4 η L}{ρ g π r^{4}} {(S + \frac{2 V_{0}}{H}) \int_{h}^{h_{0}} \frac{d h}{h} + (3 S - \frac{2 V_{0}}{H}) \int_{h}^{h_{0}} \frac{d h}{H + h}} = \\ \frac{4 η L}{ρ g π r^{4}} {(S + \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{h_{0}}{h}) + (3 S - \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{H + h_{0}}{H + h})} \end{array}$

La diferencia ente los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h₀ en el instante t=0. Al cabo de un cierto tiempo t, ha salido una cierta cantidad de gas por el tubo-capilar y la presión ha disminuido, la diferencia entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h.

Manteniendo fijos h₀ y h en las medidas que se realizan con los gases disponibles, vemos que el tiempo t es proporcional a la viscosidad η, la constante de proporcionalidad K se denomina constante del aparato. Se determina, habitualmente, a partir del dato de la viscosidad conocida de un gas (por ejemplo, el aire).

$t = K η K = \frac{4 L}{ρ g π r^{4}} {(S + \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{h_{0}}{h}) + (3 S - \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{H + h_{0}}{H + h})}$

Como la diferencia de alturas 2h ente los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro, es una función implícita del tiempo t. En la simulación, se calcula el tiempo t_i que corresponde a n valores de la altura h_i comprendidas entre h₀ y 0 (excluido h=0). A partir de estos pares de datos, se calcula una función de interpolación para cualquier valor de t empleando el procedimiento denominado polinomio de Lagrange, tal como se aprecia en la figura.

Actividades

Se selecciona el gas, en el control de selección titulado Gas

Los datos que se ha fijado en el programa interactivo (tomadas parcialmente del segundo artículo citado en las referencias) son los siguientes:

Densidad del mercurio, ρ=13.55 g/cm³
Longitud del capilar, L=85.0 cm
Radio del capilar, r=0.127 mm
Área de la sección del manómetro, S=3.89 cm²
Volumen inicial cuando se introduce el gas, V₀=81.65 cm³
La presión atmosférica equivale a la presión de una columna de mercurio de H=76 cm de altura.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se cierra la llave situada en el extremo del tubo capilar.

Se abre la llave de admisión del gas y la región comprendida entre el mercurio y el tubo capilar se va llenando de gas. La presión y el volumen del gas aumentan. Cuando el manómetro marca una altura h₀,

La presión inicial del gas es p=p₀+2ρgh₀
El volumen inicial del gas es V=V₀+S·h₀

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se cierra la llave de admisión del gas y se abre la llave en el extremo del tubo capilar, de modo que el gas empieza a salir. La presión y el volumen del gas disminuyen, cuando el nivel del mercurio en el manómetro señala una altura h se pulsa el botón titulado Pausa

Se anota h y el tiempo t. Se calcula la viscosidad η del gas.

Ejemplo

Se elige Hidrógeno
Se introduce el gas a la máxima presión. El manómetro marca h₀=20 cm
Se deja salir el gas a través del tubo capilar
Cuando el manómetro marca h=10 cm, ha transcurrido un tiempo t=145.0 s

$\begin{array}{l} t = η \frac{4 L}{ρ g π r^{4}} {(S + \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{h_{0}}{h}) + (3 S - \frac{2 V_{0}}{H}) \ln (\frac{H + h_{0}}{H + h})} \\ 145.0 = η \frac{4 \cdot 0.85}{13550 \cdot 9.8 \cdot π {(0.127 \cdot 10^{- 3})}^{4}} {\begin{cases} (3.89 \cdot 10^{- 4} + \frac{2 \cdot 81.65 \cdot 10^{- 6}}{0.76}) \ln (\frac{0.2}{0.1}) + \\ (3 \cdot 3.89 \cdot 10^{- 4} - \frac{2 \cdot 81.65 \cdot 10^{- 6}}{0.76}) \ln (\frac{0.76 + 0.2}{0.76 + 0.1}) \end{cases}} \end{array}$

η=8.84·10^-6 kg/(m·s)

Pulsando el botón titulado Respuesta obtenemos el valor η=8.85·10^-6 kg/(m·s) próximo al calculado.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Nienart L., Measuring the viscosity of gases. Am. J. Phys. 62 (6) June 1994, pp. 566-568

Cronin D. J., Temperature and pressure dependence of viscosity of gases. Am. J. Phys. 33 (1965) pp. 835-840