Velocidad de propagación del sonido en un gas

Velocidad del sonido en un gas

El razonamiento que se sigue para deducir la fórmula de la velocidad del propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una barra elástica, pero con una diferencia importante. Los gases son muy comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión.

Consideremos de nuevo las dos partes del problema: la deformación del elemento de volumen que estaba inicialmente en la posición x, y su desplazamiento Ψ .

Deformación del elemento de volumen

sonido2.gif (2077 bytes)

La masa de gas contenida en el elemento de volumen, es la misma antes y después de la deformación

Si ρ₀ es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es

$\begin{array}{l} ρ S (d x + d Ψ) = ρ_{0} S d x \\ ρ = \frac{ρ_{0}}{1 + \partial Ψ / \partial x} ρ - ρ_{0} \approx - ρ_{0} \frac{\partial Ψ}{\partial x} \end{array}$

Hemos de tener en cuenta a efectos de notación (derivada parcial) que Ψ es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo), y que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequeño por lo que podemos aproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton (1+x)^-1≈1-x cuando x<<1

Ecuación de estado

La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p₀ es muy pequeña podemos hacer aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado

$p \approx p_{0} + (ρ - ρ_{0}) {(\frac{\partial p}{\partial ρ})}_{0}$

La temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. Medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente.

A bajas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es grande, sin embargo, la longitud de las regiones es también grande. Por ejemplo, f=100 Hz, el periodo es P=0.01 s, y la longitud de onda es λ=340/100=3.4 m
A altas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es pequeño, sin embrago, la longitud de las regiones es también pequeña. Por ejemplo, f=10000 Hz, el periodo es P=0.0001 s, y la longitud de onda es λ=340/10000=0.034 m

Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. En los libros de texto, se emplea una transformación adiabática argumentándose que no hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente. Esta argumentación, equivocadamente, nos sugiere que a altas frecuencias las ondas sonoras son más adiabáticas que a bajas frecuencias.

La solución se encuentra en la teoría de la absorción y dispersión de ondas sonoras elaborada por Kirchhoff, Langevin y otros, la velocidad del sonido depende de la frecuencia. A bajas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida suponiendo una transformación adiabática pV^γ=cte y a altas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida utilizando la ecuación de la trasformación isoterma pV=cte. (Véase el primer artículo citado en las referencias)

La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

$\begin{array}{l} p_{0} V_{0}^{γ} = p V^{γ} \frac{p_{0}}{ρ_{0}^{γ}} = \frac{p}{ρ^{γ}} \\ {(\frac{\partial p}{\partial ρ})}_{0} = \frac{γ p_{0}}{ρ_{0}} \end{array}$

La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p₀ es

$p = p_{0} - \frac{\partial Ψ}{\partial x} γ p_{0}$

Desplazamiento del elemento de volumen

Necesitamos ahora la ecuación del movimiento del volumen elemental que contiene una masa (densidad por volumen) ρ₀S·dx.

El gas a la izquierda del elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pS y el gas que está a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p'S. Por tanto, la fuerza resultante en la dirección +X es

$d F = (p - p') S = - S d p = S γ p_{0} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial x^{2}} d x$

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa contenida en el elemento de por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

$d F = (ρ_{0} S d x) \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial t^{2}}$

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

$\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial t^{2}} = \frac{γ p_{0}}{ρ_{0}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial x^{2}}$

Se puede demostrar que la presión p y la densidad ρ obedecen a la misma ecuación diferencial que el desplazamiento Ψ, con la misma velocidad de propagación v.

La fórmula de la velocidad de propagación es

$v = \sqrt{\frac{γ p_{0}}{ρ_{0}}}$

γ es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire) y ρ₀ es la densidad (1.293 kg/m³), y p₀ la presión normal (1 atm=1.013·10⁵ Pa)

Con estos datos, la velocidad de propagación del sonido en el aire es v=331 m/s.

Gas	Velocidad de propagación del sonido (m/s) a la presión de 1 atm
Aire (0º C)	331
Alcohol etílico (97º C)	269
Amoniaco (0º C)	415
Gas carbónico (0º C)	259
Helio (0º C)	965
Hidrógeno (0º C)	1284
Neón (0º C)	435
Nitrógeno (0º C)	334
Oxígeno (0º C)	316
Vapor de agua (134 ºC)	494

Fuente: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107

Medida de la velocidad del sonido

Un diapasón es una varilla metálica en forma de U. El sonido emitido por el diapasón contiene una sola frecuencia que viene grabada en este dispositivo.

Conocida la frecuencia del diapasón se puede determinar la velocidad de propagación del sonido en el aire, mediante el dispositivo esquematizado en la figura. Disponemos de un recipiente de agua cuyo nivel podemos graduar. Situamos el diapasón muy cerca del recipiente y lo hacemos vibrar.

Hacemos descender el nivel del agua hasta que se perciba resonancia, es decir, una intensidad del sonido máxima.

Medimos la longitud L de la parte vacía y con estos datos se puede calcular la velocidad de propagación del sonido en el aire.

Las frecuencias de los distintos modos de vibración de un tubo cerrado responden a la fórmula

$f = \frac{2 n + 1}{4} \frac{v_{s}}{L} n = 0,1, 2, 3 ...$

Actividades

Se selecciona un diapasón que emite a una determinada frecuencia en el control de selección titulado Frecuencia de los diapasones

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Para disminuir el nivel de agua en el recipiente, se actúa con el puntero del ratón sobre el círculo de color rojo situado a la derecha del recipiente. Se mueve este círculo muy despacio y se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón cuando aparezca la representación de un modo de vibración del tubo cerrado por un extremo.

Ejemplo

Se ha seleccionado un diapasón que emite en la frecuencia de f =440 Hz. A continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo. Cuando se ha vaciado el recipiente hasta el nivel que marca L=58 cm, se observa el segundo modo de vibración n=1. Introducimos los datos en la fórmula y despejamos la velocidad del sonido v_s.

$440 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{4} \frac{v_{s}}{0.58} v_{s} = 340 .3 m/s$

A partir de la medida de la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, podemos determinar su índice adiabático γ.

Referencias

Wu J., Are sound waves isothermal or adiabatic? Am. J. Phys. 58 (7) July 1990, pp. 694-696

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995).

Fotografía. El sonido no se propaga en el vacío. Laboratorio de Física, E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo)