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Difracción Fraunhofer producida por una abertura circular

En la figura, se muestra el obstáculo, una abertura circular de radio a, y un punto P situado en una pantalla a una distancia R del obstáculo. La recta que une el centro del círculo y el punto, forma un ángulo θ con el eje Z. 

La expresión de la intensidad I(x, y) registrada en el punto P debido a la difracción de ondas planas de longitud de onda λ por el obstáculo, es

${\displaystyle I(x,y)=I(0){\left(\frac{2J_1(\alpha )}{\alpha }\right)}^2\alpha =\frac{2\pi a}{\lambda }\sin \theta }$

Donde I(0) es la intensidad registrada en el origen de la pantalla

J_n(α) es la función de Bessel de orden n.

Máximos y mínimos

• Los máximos de intensidad se producen cuando

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{d\alpha }\left(\frac{J_1(\alpha )}{\alpha }\right)=0\\ \frac{1}{\alpha }\frac{d}{d\alpha }{J}_1(\alpha )-\frac{1}{{\alpha }^2}{J}_1(\alpha )=0\\ \alpha \frac{d}{d\alpha }{J}_1(\alpha )-J_1(\alpha )=0\end{array}}$

Las funciones de Bessel tiene la siguiente relación de recurrencia

${\displaystyle x\frac{d}{dx}{J}_n(x)=n{J}_n(x)-x{J}_{n+1}(x)}$

Aplicando esta propiedad a la función J₁(α)

${\displaystyle \alpha \frac{d}{d\alpha }{J}_1(\alpha )=J_1(\alpha )-\alpha J_2(\alpha )}$

Se concluye que los máximos secundarios de intensidad son los ceros de la función de Bessel J₂(α) que se calculan por procedimientos numéricos.

J₂(α)=0

• Los mínimos de intensidad son los ceros de la función de Bessel J₁(α) que se calculan por procedimientos numéricos.

J₁(α)=0

Ahora bien J₁(α) presenta un cero para α=0, y este corresponde a un máximo de intensidad, ya que

${\displaystyle \underset{\alpha \to 0}{\lim }\left(\frac{2J_1(\alpha )}{\alpha }\right)=\text{1 }}$

En la siguiente tabla, se proporcionan los primeros ceros de las funciones de Bessel J₁(x) y J₂(x).

J1(x)	J2(x)
3.8317	5.1356
7.0156	8.4172
10.1735	11.6198
13.3237	14.7960
16.4706	17.9598
196159	21.1170
22.7601	24.2701
25.9037	27.4206
29.0468	30.5692
32.1897	33.7165

Fuente: Puig Adam P., Curso teórico-práctico de ecuaciones diferencias aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática (1950).pág. 156.

Actividades

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Medida del radio de la abertura circular

Cuando iluminamos una abertura circular podemos determinar su radio contando el número de franjas que produce en una pantalla la luz difractada en un determinado intervalo angular.

Iluminamos una abertura circular de radio a del orden de  μm, 10^-6 m con luz procedente de un láser He-Ne de longitud de onda λ=632.8·10^-9 m. Observamos la intensidad de la luz difractada en un intervalo angular entre 30 y 60º.

1. En la parte superior del applet, se proporciona el gráfico de la intensidad

${\displaystyle \begin{array}{l}I(\theta )=I_0{\left(\frac{J_1(\alpha )}{\alpha }\right)}^2\alpha =\frac{2\pi a}{\lambda }\sin \theta \\ \alpha =\frac{2\pi a·{10}^{-6}}{632.8·{10}^{-9}}\sin \theta =9.929·a·\sin \theta \end{array}}$

La intensidad correspondiente al máximo inmediatamente anterior a θ=30º se toma como unidad.

Podemos contar los máximos y mínimos de intensidad en el intervalo angular 30º-60º

2. En la parte central del applet, se representa la intensidad en escala de grises. Podemos contar en número de franjas de difracción de color claro o de color oscuro en dicho intervalo angular, que será igual al número de máximos o mínimos, respectivamente.
3. En la parte inferior del applet, se representa el radio de la abertura circular en función del número de franjas. Podemos comprobar la relación aproximadamente lineal entre estas dos magnitudes.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se introduce

• El radio a de la abertura circular (en μm) actuando en la barra de desplazamiento.

Se pulsa el botón titulado Radio

• Se cambia el valor del radio de la abertura circular

Se pulsa el botón titulado Radio

Y así, sucesivamente

Referencias

Hecht E., Zajac A. Óptica. Addison-Wesley Iberoamericana (1977), págs. 369-379

Chee Sheng Fong, Black N. D. Kiefer P. A., Shaw R. A. An experiment on the Rayleigh instability of charged liquid drops. Am. J. Phys. 75 (6) June 2007, pp. 499-503

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García