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Interferencia modulada por la difracción

En esta página vamos a estudiar la combinación de la difracción y la interferencia

Descripción

Consideremos dos rendijas iguales de anchura b, separadas una distancia a tal como se indica en la figura.

Queremos determinar la intensidad del movimiento ondulatorio en la dirección θ producida por la combinación de la interferencia de dos fuentes extensas de ondas (las rendijas) y la difracción de cada una de las rendijas.

Calculamos la amplitud debida a la difracción producida por cada una de las dos rendijas.. ${\displaystyle A_1=A_0\frac{\sin \left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}{\pi b\sin \theta /\lambda }}$

Como vimos en al estudiar la interferencia de dos fuentes, el ángulo formado por los dos vectores A₁ y A₂ es igual al desfase δ=k(a·sinθ)=2πasinθ/λ. Si las rendijas son iguales los módulos de los vectores son iguales A₁=A_2.

La amplitud resultante vale

${\displaystyle A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \delta }=2A_1\cos \left(\frac{1}{2}\delta \right)}$

o bien,

${\displaystyle A=2A_0\frac{\text{sin}\left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}{\left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}\cos \left(\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }\right)}$

La intensidad que medimos en la dirección correspondiente al ángulo θ, es proporcional al cuadrado de la amplitud

${\displaystyle I=I_0{\left(\frac{\sin \left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}{\left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}\right)}^2{\cos }^2\left(\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }\right)}$

Si comparamos esta ecuación con la correspondiente a una rendija, vemos que ahora hay un factor adicional, un coseno cuadrado, el término que aparecía en el diagrama de interferencia de dos fuentes sincrónicas. Tenemos, por tanto, que la intensidad es el producto de dos términos

• la intensidad de la difracción producida por una rendija de anchura b,
• la intensidad debida a la interferencia de dos fuentes separadas una distancia a.

 El resultado es un diagrama de interferencia modulado por el diagrama de difracción.

• Los máximos de interferencia se producen para

a·sinθ/λ=n ( n=0, ±1, ±2,…)

• Los mínimos de la intensidad debida a la difracción se producen para

b·sinθ/λ=n ( n=±1, ±2,…)

Como a>b, los ceros del diagrama de difracción están más espaciados que los máximos del diagrama de interferencia, tal como puede apreciarse en la figura.

 

Redes de difracción

El siguiente paso, es considerar el diagrama de difracción producido por varias rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas regularmente una distancia a.

La intensidad que medimos en la dirección correspondiente al ángulo θ es el producto de dos términos:

• la intensidad de la difracción producida por una rendija de anchura b,
• la intensidad debida a la interferencia de N fuentes separadas una distancia a.

${\displaystyle I=I_0{\left(\frac{\sin \left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}{\left(\pi b\sin \theta /\lambda \right)}\right)}^2{\left(\frac{\sin \left(N\pi a\sin \theta /\lambda \right)}{\sin \left(\pi a\sin \theta /\lambda \right)}\right)}^2}$

El diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes, correspondientes a los máximos principales de la interferencia de N fuentes dada por

a·sinθ/λ=n  con n=0, ±1, ±2,…

pero los valores de estos máximos estarán moduladas por el diagrama de difracción, tal como puede verse en la figura. Los mínimos de difracción están señalados en color rojo.

Actividades

Se introduce

• La anchura b de la rendija en mm, en el control de edición titulado Anchura.
• La separación a entre dos rendijas consecutivas en mm, en el control de edición titulado Separación. La separación tiene que ser mayor que la anchura a>b.
• La longitud de onda λ medida en nm=10^-9 m, en el control de edición titulado Longitud de onda
• El número N de rendijas, eligiendo un número en el control de selección titulado n. fuentes.
   

1. Si se activa el botón de radio titulado I (interferencia), se representa el diagrama de interferencia producido por N fuentes separadas una distancia a.
2. Si se activa el botón de radio titulado D (difracción) se representa el diagrama de difracción correspondiente a una rendija de anchura b.
3. Si se activa el botón de radio titulado ambos, se representa el diagrama de interferencia modulado por el diagrama de difracción.

Se pulsa el botón titulado Dibuja.

En la parte inferior del applet, se representa la intensidad codificada en colores pertenecientes a la escala de grises. El color blanco indica máxima intensidad, y el negro intensidad nula.

En la parte superior, se traza el diagrama de intensidad en función de x= a·senθ/λ, se marca sobre el diagrama en color rojo los mínimos de difracción.

Con el puntero del ratón movemos un pequeño cuadrado de color rojo. En la parte superior izquierda del applet se nos proporciona el valor de la intensidad, y el ángulo θ, medido en grados para cada posición x.

Ejemplo:

• Anchura de la rendija b=0.2 mm

• Separación entre rendijas a=1.0 mm

• Número de rendijas N=2.

Posición x=2.0, que corresponde a un máximo de interferencia

Si a·sinθ/λ=x entonces  b·sinθ/λ=xb/a

En la fórmula de la intensidad ponemos a·sinθ/λ=2.0, y  b·sinθ/λ=0.4

El valor de la intensidad es

${\displaystyle \frac{I}{I_0}={\left(\frac{\sin \left(\pi ·0.4\right)}{\left(\pi ·0.4\right)}\right)}^2{\left(\frac{\sin \left(2\pi ·2.0\right)}{\sin \left(\pi ·2.0\right)}\right)}^2={0.76}^2·1^2=0.57}$

Si la longitud de onda λ=650 nm=650·10^-9 m entonces la dirección de observación corresponde a un ángulo tal que sinθ=x·λ/a =0.001  es decir, θ=0.07º

Arrastre el pequeño cuadrado de color rojo con el puntero del ratón

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García