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Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda

En este apartado, obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:

Ψi=A·sin(kx-ω t)

Ψr=A·sin(kx+ω t)

La onda estacionaria resultante es

Ψ =Ψi+Ψr=2sin(kx)·cos(ω t).

Como vemos esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el término (kx-ω t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular ω y una amplitud 2sin(kx).

Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2sin(kx)=0, por lo que kx=nπ con n=1, 2, 3, .... o bien, x= λ /2, λ, 3λ /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, λ /2.

Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=λ /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=λ. Para el tercer modo, L=3λ /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

  λ n = 2L n n=1,2,3,...

Para hallar las frecuencias empleamos la relación λ =vP, o bien λ =v/f .

f n = n 2L v

En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

Actividades

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Se observa que:

  1. Una onda estacionaria se origina por la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma frecuencia que se mueven en direcciones opuestas, uno incidente y otro reflejado.
  2. Cuando la onda incidente se refleja en el origen x=0 experimenta un cambio de fase de π.
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