Modos normales de vibración de una barra elástica

Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre

Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre seguimos un procedimiento similar

La solución general de la ecuación que describe las vibraciones de una barra es.

ψ(x,t)=y(x)·sin(ωt)

La solución de la ecuación diferencial, la amplitud y(x) de la vibración de los puntos x de la barra

y(x)=A₁sinh(qx)+A₂·cosh(qx)+A₃·sin(qx)+A₄·cos(qx)

Las condiciones de contorno cambian

La barra está firmemente sujeta por su extremo izquierdo x=0, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.

$\frac{d y}{d x} = q (A_{1} \cosh (q x) + A_{2} sinh (q x) + A_{3} \cos (q x) - A_{4} sin (q x))$

0=A₂+A₄0=A₁+A₃

En el extremos derecho libre x=L, y(L) y su pendiente dy/dt no son cero, pero el momento y la fuerza son cero, lo que implica que d²y/dx²=0 y d³y/dx³=0

A₁(sinh(qL)+sin(qL))+A₂(cosh(qL)+cos(qL))=0
A₁(cosh(qL)+cos (qL))+A₂(sinh(qL)-sin(qL))=0

Eliminado A₁ y A₂ obtenemos una ecuación trascendente en qL

cosh(qL)·cos (qL)=-1

Las raíces r_n=q_n·L de esta ecuación se calculan por el procedimiento numérico del punto medio, sus primeros valores son:

r_n=1.875, 4.693, 7.855, 10.996, …

Conocido los valores posibles de q_n se calculan las frecuencias de vibración ω_n=2πf_n

$f_{n} = \frac{r_{n}^{2}}{2 π} \sqrt{\frac{Y I}{ρ a b L^{4}}} = C_{n} \sqrt{\frac{Y I}{ρ a b L^{4}}}$

Donde f_n es la frecuencia del modo normal n de vibración y C_n es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:

C₁=0.56, C₂=3.51, C₃=9.82, C₄=19.24, …

El coeficiente C_n es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.

La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:

$y_{n} (x) = A {(sinh (q_{n} x) - sin (q_{n} x)) - \frac{sinh (q_{n} L) + sin (q_{n} L)}{cosh (q_{n} L) + cos (q_{n} L)} (cosh (q_{n} x) - cos (q_{n} x))}$

El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A por procedimientos numéricos, de modo que

$\int_{0}^{L} y_{n}^{2} (x) d x = cte$

Ejemplo:

Sea una barra de acero del ejemplo del apartado anterior

Densidad ρ=7.8 g/cm³, módulo de Young Y=20.6·10¹⁰ N/m²

de dimensiones a=2.54 cm de ancho, b=0.76 mm de espesor y longitud L=20.3 cm.

El momento de inercia de la sección trasversal es

I=ab³/12=9.29·10^-13 m⁴

La frecuencia del modo fundamental de vibración es, f₁=0.56·27.36=15.3 Hz
La frecuencia del segundo modo normal de vibración es, f₂=3.51·27.36=96.0 Hz

y así, sucesivamente.

Actividades

El programa interactivo, resuelve la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, calculando las cinco primeras raíces.

Representa la amplitud y(x) de los puntos x de la barra para los cinco primeros modos de vibración y proporciona el valor de los coeficientes C_n

Se pulsan los botones titulados Siguiente>> y <<Anterior

Medida del módulo de Young de una barra elástica

En la figura, se muestra el esquema del dispositivo experimental: Una varilla de acero de densidad ρ=7800 kg/m³, de sección rectangular anchura a= 2.54 mm, altura b=0.76 mm sujeta firmemente por su extremo izquierdo. La varilla de longitud L se pone a oscilar mediante una bobina conectada a un generador de frecuencia variable.

Se va modificando la frecuencia del generador hasta que la varilla entra en resonancia en su modo fundamental cuya frecuencia es

$f_{1} = C_{1} \sqrt{\frac{Y \cdot a b^{3} / 12}{ρ \cdot a \cdot b}} \frac{1}{L^{2}} = C_{1} \sqrt{\frac{Y \cdot b^{2} / 12}{ρ}} \frac{1}{L^{2}} = 0.56 \sqrt{\frac{Y \cdot 10^{9} \cdot {0.00076}^{2} / 12}{7800}} \frac{1}{L^{2}} = 0.04395 \frac{\sqrt{Y}}{L^{2}}$

Midiendo f₁, para una longitud L de la varilla, calculamos el módulo de Young en unidades 10⁹ o GPa.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo genera un número aleatorio entre 160 y 210 que representa el módulo de Young Y en 10⁹ N/m² o GPa

Se introduce

La longitud L de la varilla en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud.
La parte entera de frecuencia f en Hz, actuando en la barra de desplazamiento titulada Frecuencia.
La parte decimal de la frecuencia, seleccionado un número 0-9 en el control de selección titulado Décimas.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se va cambiando de frecuencia actuando en la barra de desplazamiento, hasta observar que la varilla oscila.
Se ajusta la parte decimal hasta conseguir que la amplitud de la oscilación sea máxima. El botón Pausa detiene el movimiento de la varilla, y pulsando sucesivamente el botón Paso, podemos medir con la regla el máximo desplazamiento del extremo derecho de la varilla.
Una vez que se ha medido la frecuencia de resonancia (parte entera y primer decimal) se pulsa el botón titulado Datos, para guardar el par de datos (longitud, frecuencia) en el área de texto situado en la parte izquierda del applet.

Se cambia la longitud de la varilla y se vuelve a buscar la frecuencia de resonancia del primer modo de vibración.

Cuando tengamos varios pares de datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa en el eje vertical la frecuencia de resonancia f₁ en Hz y en el eje horizontal la longitud L de la varilla en cm.

Conocida la longitud L de la varilla y la frecuencia f₁ de su modo fundamental de vibración, se despeja el módulo de Young Y en GPa (10⁹ N/m²) de la fórmula

$f_{1} = 0.04395 \frac{\sqrt{Y}}{L^{2}}$

Se completa una tabla como la siguiente

Longitud L (m)	Frecuencia f₁ (Hz)	Módulo de Young Y (GPa)




	Valor medio

Referencias

Wilson F., Lord A. E., Young's modulus determination via simple, inexpensive static and dynamic measurements. Am. J. Phys. 41, May 1973, pp. 653-656.

Turvey K. An undergraduate experiment on the vibration of a cantilever and its application to the determination of Young's modulus. Am. J. Phys. 58 (5) May 1990, pp. 483-487