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Propagación del sonido en el océano

La velocidad de propagación del sonido en el océano varía con la profundidad, la temperatura y la salinidad. En la figura, se muestra la variación de la velocidad del sonido c con la profundidad y para el caso en que el mínimo c0 de velocidad se encuentre a medio camino entre la superficie del océano y el fondo marino. Situamos el origen de coordenadas en dicha posición, de modo que la superficie se encuentra a +ys y el fondo a –ys. La velocidad del sonido para y>0 es c=c0+by donde b es la pendiente de la recta o gradiente de la velocidad del sonido con la profundidad y.

Como hemos visto en la página anterior, en un medio estratificado verticalmente la ley de Snell se expresa

n₀·sinθ₀= n₁·sinθ₁
n₁·sinθ₁= n₂·sinθ₂
n₂·sinθ₂=n₃·sinθ₃

En general

n₀·sinθ₀=n(y)sinθ

donde n₀ es el índice de refracción para y=0, y n(y) es el índice de refracción a la altura y. θ es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal tal como se aprecia en la figura

La ley de Snell se expresa en términos de las velocidades de propagación del sonido

${\displaystyle \frac{1}{c_0}\sin {\theta }_0=\frac{1}{c_0+by}\sin \theta }$

Ecuación del rayo

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{dx}{dy}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\\ \frac{dx}{dy}=\frac{(c_0+by)\sin {\theta }_0}{\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}}\end{array}}$

Integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}x={\displaystyle \int \frac{(c_0+by)\sin {\theta }_0}{\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}}dy}+C\\ x=-\frac{1}{b\sin {\theta }_0}\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}+C\end{array}}$

donde C es una constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales, para x=0, y=0, el rayo parte del origen.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{1}{b\sin {\theta }_0}\left(c_0\cos {\theta }_0-\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}\right)\\ x-\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}=\sqrt{c_0^2-{\left((c_0+by)\sin {\theta }_0\right)}^2}\end{array}}$

Elevando al cuadrado

${\displaystyle {\left(x-\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}\right)}^2+{\left(y+\frac{c_0}{b}\right)}^2={\left(\frac{c_0}{b\sin {\theta }_0}\right)}^2}$

Que es la ecuación de una circunferencia centrada en el punto x_c, y_c y de radio R

${\displaystyle x_c=\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{y}_c=-\frac{c_0}{b}R=\frac{c_0}{b\sin {\theta }_0}}$

Variando el ángulo inicial θ₀ obtenemos distintas trayectorias.

El arco de circunferencia corta al eje X en el punto y=0, cuya abscisa es

${\displaystyle x_{máx}=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}}$

La altura máxima del rayo se produce para x_máx/2

${\displaystyle y_{\max }=\frac{c_0}{b}\left(\frac{1}{\sin {\theta }_0}-1\right)}$

El rayo alcanza la superficie del agua y_s para el ángulo θ₀ tal que y_máx=y_s

${\displaystyle {\theta }_0=\arcsin \left(\frac{c_0}{b{y}_s+c_0}\right)}$

Para que un rayo llegue a la posición (x₀, 0) sobre el eje X hay varias posibilidades

Describiendo un arco de semicircunferencia tal que x₀=x_máx

${\displaystyle x_0=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{\theta }_0=\arctan \left(\frac{2c_0}{b{x}_0}\right)}$

La segunda posibilidad es describir dos arcos de circunferencia, uno por encima y otro por debajo del eje X.

En esta ocasión x_máx=x₀/2 y el ángulo θ₀ es

${\displaystyle {\theta }_0=\arctan \left(\frac{4c_0}{b{x}_0}\right)}$

Tres arcos de semicircunferencia, cuatro, …n arcos

${\displaystyle {\theta }_0=\arctan \left(\frac{2n{c}_0}{b{x}_0}\right)n=\mathrm{1,2,3...}n}$

Ejemplo:

Sea c₀=1500 m/s la velocidad del sonido en la posición del eje X, a medio camino entre la superficie y el fondo del océano

Sea el gradiente de velocidad con la altura b=0.2 s^-1, se el ángulo θ₀=60º que forma el rayo incidente con el eje Y. El fondo del océano se encuentra a 10000 m de profundidad o bien, 5000 m por debajo del eje X.

La altura máxima del rayo es

${\displaystyle y_{\max }=\frac{c_0}{b}\left(\frac{1}{\sin {\theta }_0}-1\right)y_{\max }=1.16\text{km}}$

La primera intersección con el eje X  se produce a la distancia

${\displaystyle x_0=2\frac{c_0\cos {\theta }_0}{b\sin {\theta }_0}{x}_0=8.66\text{km}}$

Las otras son múltiplos de esta cantidad

El mínimo ángulo θ₀ por debajo del cual el rayo ya no describe arcos de circunferencia sino que es absorbido por el fondo del océano.

${\displaystyle {\theta }_0=\arcsin \left(\frac{c_0}{b{y}_s+c_0}\right){\theta }_0=36.9º}$

Nota: El rayo no se dirige hacia la superficie del océano para evitar tratar con la refracción de dicho rayo en la superficie de separación entre el aire y el agua. Unos rayos se refractarán y otros experimentarán reflexión total hacia el interior del océano.

Dirigiéndolos hacia abajo, supondremos que el sonido es absorbido al llegar al fondo del océano.

Actividades

Se introduce

• El gradiente b de incremento de la velocidad del sonido en el agua con la altura y, actuando en la barra de desplazamiento titulada Gradiente b.
• El ángulo θ₀ que forma el rayo con el eje Y, cuando pasa por el origen, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo
• Se ha fijado la posición del fondo del océano en y_s=-5000 m

Se pulsa el botón titulado Dibuja.

La intensidad de color azul señala la magnitud de la velocidad de propagación: mínima en el eje X, aumentando hacia la superficie del océano y hacia el fondo. El índice de refracción, que es inversamente proporcional a la velocidad de propagación, es máximo a lo largo del eje X y disminuye hacia la superficie del océano y hacia el fondo.

Vemos que el efecto de dicho gradiente es que  el sonido se propague a lo largo de arcos de circunferencia a través de una especie de canal.

Referencias

 

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García