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Propagación en medios no homogéneos. Espejismos

Los espejismos, imágenes virtuales invertidas de objetos distantes, se ven debajo del objeto por que los rayos se curvan debido a un incremento del índice de refracción con la altura por encima de la superficie caliente, por ejemplo, una carretera asfaltada en verano.

Dependiendo de su posición, el observador puede ver el objeto y su imagen, o solamente la imagen virtual.

Variación del índice de refracción con la altura

El índice de refracción de aire depende de su densidad, la densidad depende de la temperatura y la presión que podemos considerar constante hasta una altura considerable.

A alta temperatura, cerca de la superficie caliente, el aire es menos denso y el índice de refracción es más pequeño.

La temperatura por encima del suelo caliente disminuye rápidamente con la altura hasta que se estabiliza a una altura del orden de un metro. Se considera que el índice de refracción sigue un comportamiento descrito por la función

${\displaystyle n^2(y)=n_0^2+n_1^2\left(1-\exp (-\alpha y)\right)}$

donde y es la altura por encima del suelo y n₀, n₁ y α son constantes que describen un determinado perfil del índice de refracción del aire por encima de la superficie caliente.

En la figura, se representa esta función para n₀=1.000233, n₁=0.4584, α=2.3003 m^-1, (véase el artículo citado en las referencias)

Ecuación del rayo de luz

Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción se cumple la ley de Snell de la refracción n1·sinθ1=n2·sinθ2

siendo n₁ y n₂ los índices de refracción de los dos medios, θ₁ es el ángulo de incidencia y θ₂ el ángulo de refracción.

Cuando un rayo de luz atraviesa un medio estratificado consistente en capas de índices de refracción n1, n2, n3…. se cumple que n1·sinθ1=n2·sinθ2 n2·sinθ2=n3·sinθ3 n3·sinθ3=n4·sinθ4 ……

Si el índice de refracción n varía de forma continua con la altura y, tendremos que

n(y)·sinθ=c

donde c es una constante que se determina a partir de los datos del índice de refracción a la altura y₀, y el ángulo θ₀ que forma el rayo con el eje vertical Y.

n(y₀)·sinθ₀=c

Al variar el índice de refracción el rayo de luz describe una curva, la pendiente de la recta tangente dy/dx a dicha curva en el punto (x, y) es ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\tan \theta }}$ Como vemos en la figura, el ángulo que forma la tangente al rayo de luz en el punto (x, y) es 90+θ

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}{\text{sin}\theta }=-\frac{\sqrt{1-c^2/n^2(y)}}{c/n(y)}=-\sqrt{\frac{n^2(y)}{n^2(y_0){\sin }^2{\theta }_0}-1}}$

Integramos esta ecuación diferencial sabiendo que el rayo de luz tiene su origen en el objeto situado en el punto P (0, y₀)

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{n_0^2+n_1^2-n_1^2\exp (-\alpha y)-n_P^2{\sin }^2{\theta }_0}{n_P^2{\sin }^2{\theta }_0}}}$

Se definen las constantes

${\displaystyle \begin{array}{l}{n}_P^2=n^2(y_0)=n_0^2+n_1^2\left(1-\exp (-\alpha y_0)\right)\\ k^2=\frac{n_0^2+n_1^2-n_P^2{\sin }^2{\theta }_0}{n_1^2}\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{n_1}{n_P\sin {\theta }_0}\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}\end{array}}$

Separamos variables para integrar

${\displaystyle {\displaystyle \underset{y_0}{\overset{y}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{n_1}{n_P\sin {\theta }_0}dx}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}^2=k^2-\exp (-\alpha y)\\ y=-\frac{1}{\alpha }\ln (k^2-t^2)\\ {\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{dt}{k^2-t^2}=-\frac{n_1\alpha }{2n_P\sin {\theta }_0}}x\\ \frac{1}{2k}\ln \left|\frac{k+t}{k-t}\right|-\frac{1}{2k}\ln \left|\frac{k+t_0}{k-t_0}\right|=-\frac{n_1\alpha }{2n_P\sin {\theta }_0}x\end{array}}$

Deshacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\ln \left|\frac{k+\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}}{k-\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}}\right|=-\frac{n_{1}k\alpha }{n_P\sin {\theta }_0}x+\ln \left|\frac{k+\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y_0)}}{k-\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y_0)}}\right|\\ \ln \left|\frac{\exp (-\alpha y)}{{\left(k-\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}\right)}^2}\right|=-\frac{n_{1}k\alpha }{n_P\sin {\theta }_0}x+\ln \left|\frac{\exp (-\alpha y_0)}{{\left(k-\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y_0)}\right)}^2}\right|\\ \ln \left|\frac{1}{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y\right)-\sqrt{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y\right)\right)}^2-1}\right)}^2}\right|=-\frac{n_{1}k\alpha }{n_P\sin {\theta }_0}x+\ln \left|\frac{1}{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y_0\right)-\sqrt{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y_0\right)\right)}^2-1}\right)}^2}\right|\\ -2\ln \left\{k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y\right)-\sqrt{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y\right)\right)}^2-1}\right\}=-\frac{n_{1}k\alpha }{n_P\sin {\theta }_0}x-2\ln \left\{k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y_0\right)-\sqrt{{\left(k\exp \left(\frac{1}{2}\alpha y_0\right)\right)}^2-1}\right\}\end{array}}$

Conocida la definición de la función recíproca del coseno hiperbólico, finalmente, la ecuación del rayo de luz queda de la siguiente forma.

${\displaystyle {\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y}{2}\right)\right)=-\frac{n_{1}k\alpha }{2n_P\sin {\theta }_0}x+{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_0}{2}\right)\right)}$

Para trazar el rayo de luz se da valores a x y se despeja y del siguiente modo:

${\displaystyle \begin{array}{l}{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y}{2}\right)\right)=f(x)\\ k\exp \left(\frac{\alpha y}{2}\right)=\cosh \left(f(x)\right)\\ y=\frac{2}{\alpha }\ln \left\{\frac{\cosh \left(f(x)\right)}{k}\right\}\end{array}}$

Propiedades de la trayectoria

El rayo de luz tiene un mínimo, igualando a cero la pendiente de la recta tangente dy/dx=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=-\frac{n_1}{n_P\sin {\theta }_0}\sqrt{k^2-\exp (-\alpha y)}=0\\ \exp (-\alpha y_m/2)=k\\ y_m=-\frac{2}{\alpha }\ln k\end{array}}$

La abscisa x_m vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_m}{2}\right)\right)=-\frac{n_1\alpha k}{2n_P\sin {\theta }_0}{x}_m+{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_0}{2}\right)\right)\\ {\cosh }^{-1}(1)=-\frac{n_1\alpha k}{2n_P\sin {\theta }_0}{x}_m+{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_0}{2}\right)\right)\\ x_m=\frac{2n_P\sin {\theta }_0}{n_1\alpha k}{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_0}{2}\right)\right)\end{array}}$

La trayectoria que sigue la luz es simétrica respecto del mínimo

Poniendo en la ecuación de la trayectoria y=y₀, tenemos dos valores de x, uno cuando cosh^-1(…) es positivo y otro cuando cosh^-1(…) es negativo

x=0,

${\displaystyle x=\frac{4n_P\sin {\theta }_0}{n_1\alpha k}{\cosh }^{-1}\left(k\exp \left(\frac{\alpha y_0}{2}\right)\right)}$

Imagen virtual. Espejismo

Cuando el observador se encuentra en una posición tal como A, recibirá la luz directamente del objeto y también de los rayos que se han refractado hacia arriba debido a cambio brusco del índice de refracción cerca de la superficie caliente. El observador verá una imagen virtual P’ del objeto P y también verá el objeto P.  La imagen virtual aparecerá distorsionada ya que la prolongación de los rayos no converge en un punto.

Dependiendo de la altura del objeto, el observador no verá la imagen virtual, el espejismo, si está a cierta distancia del objeto, por ejemplo en C, pero podrá ver el objeto directamente.

A partir de cierta distancia, el observador no verá ni el objeto ni su imagen virtual, por ejemplo en B.

Actividades

Se introduce

• La altura y₀ del objeto en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se representa el gradiente de temperaturas en tonalidades rojas. Rojo intenso cerca de la superficie que rápidamente tiende hacia el blanco. La densidad y el índice de refracción aumentan con la altura.

• El ángulo θ₀ que forma el rayo incidente con el eje Y, en la posición y₀ del objeto,  actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo.

Se pulsa el botón titulado Ángulo>>.

Se traza otro rayo

Se cambia el ángulo θ₀ y se vuelve a pulsar el botón titulado Ángulo>>

Cuando se hayan trazado cinco rayos, se cambia la altura y₀ del objeto y el ángulo θ₀ y se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se sugiere al lector, que para una altura y₀ del objeto, identifique de forma cualitativa las posiciones del observador en las que puede ver:

• El objeto directamente y su imagen virtual

• Solamente la imagen virtual

• Solamente el objeto

• Ni el objeto ni la imagen virtual (región de sombra)

La función recíproca del coseno hiperbólico.

Si cosh(x)=c,  entonces x=cosh^-1(c)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=c\\ e^{2x}-2c{e}^x+1=0\end{array}}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

${\displaystyle \begin{array}{l}{e}^{x_1}=c+\sqrt{c^2-1}{e}^{x_2}=c-\sqrt{c^2-1}\\ x_1=\ln \left(c+\sqrt{c^2-1}\right)x_2=\ln \left(c-\sqrt{c^2-1}\right)\end{array}}$

La función cosh es simétrica y las raíces x1 y x2 son iguales y opuestas Por ejemplo, si c=2, x=±1.37, si c=1, x=0

Referencias

Khular E., Thyagarajan K., Ghatak A. K., A note on mirage formation. Am. J. Phys. 45 (1) January 1977, pp. 90-92

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García