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El péndulo de Wilberforce

El péndulo de Wilberforce es un conocido dispositivo para verificar el principio de la conservación de la energía. Se puede además, mostrar las oscilaciones acopladas de los modos longitudinales y torsionales de un cuerpo de forma cilíndrica que cuelga de un muelle en forma de hélice. En esta página, vamos a resolver las ecuaciones del movimiento: de traslación y de rotación alrededor del eje vertical, a calcular las frecuencias de los modos normales de oscilación, y a determinar las condiciones iniciales que hacen que el sistema describa un modo normal de oscilación.

Ecuaciones del movimiento

Sea k_x la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y k_θ a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y θ  el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.

El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma εxθ /2, donde ε se denomina constante de acoplamiento.

La energía del sistema es la suma de la energía cinética de traslación del bloque, de rotación alrededor del eje vertical, la energía potencial del muelle cuando se deforma una longitud x, y cuando gira un ángulo θ, y la energía de acoplamiento

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}I{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}{k}_x{x}^2+\frac{1}{2}{k}_{\theta }{\theta }^2+\frac{1}{2}\epsilon x\theta }$

Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangiana L=E_k-E_p, con los símbolos $\dot{\theta }=\frac{d\theta }{dt}\dot{x}=\frac{dx}{dt}$ se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}I{\dot{\theta }}^2-\frac{1}{2}{k}_x{x}^2-\frac{1}{2}{k}_{\theta }{\theta }^2-\frac{1}{2}\epsilon x\theta \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0\end{array}}$

Las ecuaciones del movimiento son:

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k_x}{m}x+\frac{\epsilon }{2m}\theta =0\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{k_{\theta }}{I}\theta +\frac{\epsilon }{2I}x=0\end{array}}$

En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares

${\displaystyle {\omega }_x^2=\frac{k_x}{m}{\omega }_{\theta }^2=\frac{k_{\theta }}{I}}$

Eliminamos x en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^4\theta }{d{t}^4}+{\omega }_{\theta }^2\left(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)+\frac{\epsilon }{2I}\left(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\right)=\\ \frac{d^4\theta }{d{t}^4}+{\omega }_{\theta }^2\left(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)+\frac{\epsilon }{2I}\left(-{\omega }_x^{2}x-\frac{\epsilon }{2m}\theta \right)=0\\ \frac{d^4\theta }{d{t}^4}+({\omega }_{\theta }^2+{\omega }_x^2)\left(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)+\left({\omega }_{\theta }^2·{\omega }_x^2-\frac{{\epsilon }^2}{4mI}\right)\theta =0\end{array}}$

Suponiendo una solución de la forma

θ=A·sin(ωt)+ B·cos(ωt)

e insertándola en la ecuación diferencial de cuarto orden en θ, obtenemos la ecuación bicuadrada

${\displaystyle {\omega }^4-{\omega }^2({\omega }_x^2+{\omega }_{\theta }^2)+{\omega }_x^2·{\omega }_{\theta }^2-\frac{{\epsilon }^2}{4mI}=0}$

Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω₁ y ω₂ de los modos normales de vibración

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_1^2=\frac{1}{2}\left({\omega }_x^2+{\omega }_{\theta }^2+\sqrt{{({\omega }_x^2+{\omega }_{\theta }^2)}^2-4\left({\omega }_x^2·{\omega }_{\theta }^2-\frac{{\epsilon }^2}{4mI}\right)}\right)=\frac{1}{2}\left({\omega }_x^2+{\omega }_{\theta }^2+\sqrt{{({\omega }_x^2-{\omega }_{\theta }^2)}^2+\frac{{\epsilon }^2}{mI}}\right)\\ {\omega }_2^2=\frac{1}{2}\left({\omega }_x^2+{\omega }_{\theta }^2-\sqrt{{({\omega }_x^2-{\omega }_{\theta }^2)}^2+\frac{{\epsilon }^2}{mI}}\right)\end{array}}$

La forma general del ángulo θ de rotación en función del tiempo t es una combinación de los dos modos normales de vibración

θ(t)=Asin(ω₁t)+ Bcos(ω₁t)+ Csin(ω₂t)+ Dcos(ω₂t)

La velocidad angular de rotación es

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}={\omega }_1\left(A\text{cos}({\omega }_{1}t)-B\sin ({\omega }_{1}t)\right)+{\omega }_2\left(C\cos ({\omega }_{2}t)-D\sin ({\omega }_{2}t)\right)}$

Para calcular la posición x(t), se introduce θ(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe la rotación del cilindro.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{k_{\theta }}{I}\theta +\frac{\epsilon x}{2I}=0\\ x(t)=\frac{2I}{\epsilon }\{\begin{array}{l}\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right)\left(A\sin ({\omega }_{1}t)+B\cos ({\omega }_{1}t)\right)+\\ \left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right)\left(C\sin ({\omega }_{2}t)+D\cos ({\omega }_{2}t)\right)\end{array}\end{array}}$

La velocidad del c.m. del cilindro es

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{2I}{\epsilon }\{\begin{array}{l}\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_1\left(A\cos ({\omega }_{1}t)-B\sin ({\omega }_{1}t)\right)+\\ \left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_2\left(C\cos ({\omega }_{2}t)-D\sin ({\omega }_{2}t)\right)\end{array}}$

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.

Desplazamos el cilindro x₀ y lo giramos un ángulo θ₀ y a continuación lo soltamos. La velocidad inicial es  dx/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.

Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_0=\frac{2I}{\epsilon }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right)B+\left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right)D\right\}\\ 0=\frac{2I}{\epsilon }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_{1}A+\left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_{2}C\right\}\\ {\theta }_0=B+D\\ 0={\omega }_{1}A+{\omega }_{2}C\end{array}}$

Despejamos las incógnitas A, B, C, y D

A=C=0

${\displaystyle B=-\frac{\frac{\epsilon x_0}{2I}-({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2){\theta }_0}{({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)}D=\frac{\frac{\epsilon x_0}{2I}-({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2){\theta }_0}{({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)}}$

Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son

θ(t)= Bcos(ω₁t)+ Dsin(ω₂t)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=-{\omega }_{1}B\sin ({\omega }_{1}t)-{\omega }_{2}D\sin ({\omega }_{2}t)\\ x(t)=\frac{2I}{\epsilon }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right)B\cos ({\omega }_{1}t)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right)D\cos ({\omega }_{2}t)\right\}\\ \frac{dx}{dt}=-\frac{2I}{\epsilon }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_{1}B\sin ({\omega }_{1}t)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\omega }_{2}D\sin ({\omega }_{2}t)\right\}\end{array}}$

Modos normales de vibración

• El modo 1 de frecuencia angular ω₁, se obtiene cuando D=0,

La relación entre la posición inicial x₀ del cilindro y el ángulo inicial de giro θ₀ es

${\displaystyle x_0=\frac{2I}{\epsilon }({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2){\theta }_0}$

La posición x del cilindro y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta (t)={\theta }_0\cos ({\omega }_{1}t)\\ x(t)=\frac{2I}{\epsilon }\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\theta }_0\cos ({\omega }_{1}t)\end{array}}$

• El modo 2 de frecuencia angular ω₂, se obtiene cuando B=0,

${\displaystyle x_0=\frac{2I}{\epsilon }({\omega }_2^2-{\omega }_{\theta }^2){\theta }_0}$

La posición x del cilindro y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta (t)={\theta }_0\cos ({\omega }_{2}t)\\ x(t)=\frac{2}{\epsilon }\left({\omega }_1^2-{\omega }_{\theta }^2\right){\theta }_0\cos ({\omega }_{2}t)\end{array}}$

Cuando las frecuencias son iguales

Si modificamos el momento de inercia I, cambiando la distancia d de las esferas al eje de rotación podemos conseguir que la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales ω_x y la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales ω_θ sean iguales ω =ω_x=ω_θ

Las frecuencias ω₁ y ω₂ de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple

${\displaystyle {\omega }_1^2={\omega }^2+\sqrt{\frac{{\epsilon }^2}{4mI}}{\omega }_2^2={\omega }^2-\sqrt{\frac{{\epsilon }^2}{4mI}}}$

Es importante analizar el caso de que x₀=0. Se gira el cilindro un ángulo inicial θ₀ y luego, se suelta.

Los coeficientes B=D=θ₀/2. Las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta (t)=\frac{{\theta }_0}{2}\left(\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)\right)\\ x(t)=\frac{{\theta }_0}{2}\sqrt{\frac{I}{m}}\left(\cos ({\omega }_{1}t)-\cos ({\omega }_{2}t)\right)\end{array}}$

• La relación entre la posición inicial x₀ del cilindro y el ángulo inicial de giro θ₀ es en el modo normal 1 de frecuencia angular ω₁ es

${\displaystyle x_0=+\sqrt{\frac{I}{m}}{\theta }_0}$

• La relación entre la posición inicial x₀ del cilindro y el ángulo inicial de giro θ₀ es en el modo normal 2 de frecuencia angular ω₂ es

${\displaystyle x_0=-\sqrt{\frac{I}{m}}{\theta }_0}$

Ejemplo:

• Constante de acoplamiento ε=0.03 kg·m/s²

• Masa del cilindro y las esferas m=0.43 kg

• Constante elástica k_x =16.98 N/m

 Frecuencia angular del movimiento de traslación es

${\displaystyle {\omega }_x=\sqrt{\frac{16.98}{0.43}}=6.284\text{rad/s}}$

• Constante elástica k_θ=5.74·10^-3 Nm

• Momento de inercia I es variable

El momento de inercia I respecto del eje de rotación se puede variar, moviendo dos pequeñas esferas de igual masa m situadas a la misma distancia d del eje de rotación.

El momento de inercia del sistema, será igual al momento de inercia del cuerpo cilíndrico 1.28·10^-4 kg·m² más el momento de inercia de las dos esferas consideradas como masas puntuales de 3.4·10^-3 kg cada una.

I=1.28·10^-4+2·3.4·10^-3·d² kg m²

La frecuencia angular ω_θ de las oscilaciones torsionales se puede cambiar modificando el momento de inercia I es decir, la distancia d de las pequeñas esferas, al eje de rotación.

${\displaystyle {\omega }_{\theta }=\sqrt{\frac{5.74·{10}^{-3}}{I}}}$

Para d=3.5 cm=0.035 m, el momento de inercia I=1.3633·10^-4 kg m², la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales es ω_θ=6.489 rad/s

Las frecuencias de los modos de los modos normales de oscilación 1 y 2 valen

ω₁=6.569 rad/s
ω₂=6.200 rad/s

Si la posición inicial del cilindro x₀=-0.04, el ángulo que hemos de girar para observar el primer modo normal de oscilación es

θ₀=-4.20 rad=-240.7º

para observar el segundo modo normal de oscilación es

θ₀=1.20 rad=68.8º

Con el puntero del ratón podemos modificar la distancia d o el momento de inercia I hasta lograr que ambas frecuencias sean iguales. Los valores de dichas frecuencias aparecen en el applet: en la parte inferior la frecuencia ω_x, y en la parte superior ω_θ.

El valor de d que hace que ambas frecuencias sean iguales es

${\displaystyle \frac{16.98}{0.43}=\frac{5.74·{10}^{-3}}{1.28·{10}^{-4}+2·3.4·{10}^{-3}{d}^2}d=0.051\text{m}}$

El momento de inercia vale I=1.45·10^-4 kg m²

La frecuencias angulares ω_x=ω_θ=6.284 rad/s

Las frecuencias de los modos normales de oscilación 1 y 2 valen

ω₁=6.433 rad/s
ω₂=6.131 rad/s

Si la posición inicial del cilindro x₀=-0.04, el ángulo que hemos de girar para observar el primer modo normal de oscilación es

θ₀=-2.18 rad=-124.6º

para observar el segundo modo normal de oscilación es

θ₀=2.18 rad=124.6º

Es importante examinar el caso de que x₀=0 y θ₀≠0,por ejemplo, θ₀=0.70 rad=40º

θ(t)=20(cos(ω₁t)+ cos(ω₂t))   grados
x(t)=0.64(cos(ω₁t)-cos(ω₂t))  cm

Balance energético

Se puede observar los cambios energéticos en el diagrama en forma de tarta a la derecha del applet. En distintos colores se representan las energías potenciales elásticas y las energías cinéticas correspondientes a ambos modos de oscilación.

Energías correspondientes a las oscilaciones longitudinales

• Energía potencial $\frac{1}{2}{k}_x{x}^2$
• Energía cinética $\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$

Energías correspondientes a las oscilaciones torsionales

• Energía potencial $\frac{1}{2}{k}_{\theta }{\theta }^2$
• Energía cinética $\frac{1}{2}I{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2$

Energía de acoplamiento$\frac{1}{2}\epsilon x\theta$

En la parte superior derecha del applet, se proporciona el valor numérico de la energía total que se mantiene constante durante el movimiento del péndulo.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se arrastra con el puntero del ratón el círculo de color rojo situado a la izquierda del cilindro que cuelga del muelle, hacia el centro para disminuir el momento de inercia, hacia fuera para aumentarlo.

Se introduce

• La posición inicial vertical x₀ del cilindro en cm, en el control de edición titulado Posición (cm)
• El ángulo de giro inicial θ₀ en grados, en el control de edición titulado Angulo de giro

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del péndulo, o la representación gráfica de:

• El desplazamiento x en función del tiempo, activando la casilla traslación y pulsando el botón titulado Gráfica
• El desplazamiento angular θ en función del tiempo, activando la casilla rotación y pulsando el botón titulado Gráfica

Para comenzar una nueva "experiencia", se pulsa el botón titulado Inicio

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el puntero del ratón el pequeño círculo de color rojo.

Referencias

Berg R. H, Marshall T. Wilberforce pendulum oscillations and normal modes. Am. J. Phys. 59 (1) January 1991, pp. 32-38.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García