• Inicio
• Oscilaciones
• Osciladores acoplados

Oscilaciones acopladas de una varilla que pende de dos muelles

En esta página, estudiamos otro ejemplo de oscilaciones acopladas, consistente en una varilla delgada que cuelga de dos muelles elásticos, tal como se muestra en la figura. El centro de masas se mueve hacia arriba y hacia abajo y experimenta oscilaciones rotacionales alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Este ejemplo, es similar al péndulo de Wilberforce, pero con algunas notables diferencias:

• Las ecuaciones del movimiento del péndulo de Wilberforce se obtienen a partir de las ecuaciones de Lagrange:

• Las ecuaciones del movimiento de este sistema se obtienen a partir de las leyes de Newton

• Sin embargo, en este ejemplo, estudiamos el sistema cuando los desplazamientos de la posición de equilibrio son pequeños, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales.

Equilibrio

La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k₁ y k₂ y de longitudes l₀₁ y l₀₂ sin deformar, situados a una distancia d₁ y d₂ a uno y otro lado del c.m de la varilla

• La fuerza que ejerce el muelle situado a la izquierda del c.m. es F₁=k₁x₁, donde x₁ es la deformación del muelle

• La fuerza que ejerce el muelle situado a la derecha del c.m. es F₂=k₂x₂, donde x₂ es la deformación del muelle

Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.

k₁x₁+ k₂x₂=mg
-k₁x₁·d₁+ k₂x₂·d₂=0

Despejamos x₁ y x₂

${\displaystyle x_1=\frac{mg}{k_1}\frac{d_2}{d_1+d_2}{x}_2=\frac{mg}{k_2}\frac{d_1}{d_1+d_2}}$

• El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l₁=l₀₁+x₁ por encima de la varilla horizontal

• El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l₂=l₀₂+x₂ por encima de la varilla horizontal

Ecuaciones del movimiento

Como caso del péndulo, supondremos que el sistema realiza pequeños desplazamientos respecto de la posición de equilibrio para que las ecuaciones del movimiento sean lineales.

Supongamos que en el instante t, el c.m. de la varilla se ha elevado y sobre la posición de equilibrio, y ha girado un ángulo θ, respecto de la posición horizontal.

• La deformación del muelle izquierdo es l₁-l₀₁-y₁= x₁-y₁, y la fuerza que ejerce el muelle izquierdo sobre la varilla es F₁=k₁(x₁-y₁)

• La deformación del muelle derecho es l₂-l₀₂-y₂= x₂-y₂, y la fuerza que ejerce el muelle derecho sobre la varilla es F₂=k₂(x₂-y₂)

La ecuación del movimiento de traslación del c.m es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=k_1(x_1-y_1)+k_2(x_2-y_2)-mg\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-k_1{y}_1-k_2{y}_2\end{array}}$

La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. es

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=k_2(x_2-y_2)·d_2-k_1(x_1-y_1)·d_1\\ I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-k_2{y}_2·d_2+k_1{y}_1·d_1\end{array}}$

I_c=mL²/12 es el momento de inercia de la varilla de longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Relacionamos los desplazamientos y₁ e y₂ de los puntos de enganche de los muelles con la varilla con el desplazamiento y del cm. y con el ángulo θ girado por la varilla que supondremos de nuevo, que es pequeño, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales

y₁=y-d₁·θ
y₂=y+d₂·θ

Las dos ecuaciones diferenciales del movimiento las escribimos en términos del desplazamiento y del c.m. y del ángulo girado θ por la varilla.

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-(k_1+k_2)y-(k_2{d}_2-k_1{d}_1)\theta \\ I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-(k_2{d}_2-k_1{d}_1)y-(k_1{d}_1^2+k_2{d}_2^2)\theta \end{array}}$

Definimos los siguientes parámetros

${\displaystyle {\omega }_y^2=\frac{k_1+k_2}{m}{\omega }_{\theta }^2=\frac{(k_1{d}_1^2+k_2{d}_2^2)}{I_c}\beta =k_2{d}_2-k_1{d}_1}$

Las dos ecuaciones se escriben en términos de dichos parámetros, del siguiente modo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }_y^{2}y+\frac{\beta }{m}\theta =0\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }_{\theta }^2\theta +\frac{\beta }{I_c}y=0\end{array}}$

Para eliminar el ángulo θ, calculamos la derivada segunda de la primera ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{4}y}{d{t}^4}+{\omega }_y^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{\beta }{m}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=0}$

que con las otras dos, da lugar la ecuación diferencial de cuarto orden en y

${\displaystyle \frac{d^{4}y}{d{t}^4}+({\omega }_y^2+{\omega }_{\theta }^2)\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\left({\omega }_y^2·{\omega }_{\theta }^2-\frac{{\beta }^2}{m{I}_c}\right)y=0}$

Ensayamos una solución de la forma

y=Asen(ωt)+Bcos(ωt) o bien, y=Csen(ωt+φ)

Calculamos la derivada segunda y la derivada cuarta de y y las introducimos en la ecuación diferencial de cuarto orden, obteniendo la siguiente ecuación bicuadrada en ω.

${\displaystyle {\omega }^4-({\omega }_y^2+{\omega }_{\theta }^2){\omega }^2+\left({\omega }_y^2·{\omega }_{\theta }^2-\frac{{\beta }^2}{m{I}_c}\right)=0}$

cuyas raíces reales son

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_1^2=\frac{1}{2}\left\{({\omega }_y^2+{\omega }_{\theta }^2)+\sqrt{{({\omega }_y^2-{\omega }_{\theta }^2)}^2+\frac{4{\beta }^2}{m{I}_c}}\right\}\\ {\omega }_2^2=\frac{1}{2}\left\{({\omega }_y^2+{\omega }_{\theta }^2)-\sqrt{{({\omega }_y^2-{\omega }_{\theta }^2)}^2+\frac{4{\beta }^2}{m{I}_c}}\right\}\end{array}}$

La forma general del desplazamiento y en función del tiempo t es una combinación lineal de los dos modos normales de vibración

y (t)=Asin(ω₁t)+Bcos(ω₁t)+Csin(ω₂t)+Dcos(ω₂t)

La velocidad del c.m. es

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=A{\omega }_1\cos ({\omega }_{1}t)-B{\omega }_1\sin ({\omega }_{1}t)+C{\omega }_2\cos ({\omega }_{2}t)-D{\omega }_2\sin ({\omega }_{2}t)}$

Para calcular el ángulo θ(t) girado por la varilla en función del tiempo, se introducey(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento del c.m. de la varilla

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }_y^{2}y+\frac{\beta }{m}\theta =0}$

resultando

${\displaystyle \theta (t)=\frac{m}{\beta }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_y^2\right)\left(A\sin ({\omega }_{1}t)+B\cos ({\omega }_{1}t)\right)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_y^2\right)\left(C\sin ({\omega }_{2}t)+D\cos ({\omega }_{2}t)\right)\right\}}$

La velocidad de rotación de la varilla es

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=\frac{m}{\beta }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_y^2\right){\omega }_1\left(A\cos ({\omega }_{1}t)-B\sin ({\omega }_{1}t)\right)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_y^2\right){\omega }_2\left(C\cos ({\omega }_{2}t)-D\sin ({\omega }_{2}t)\right)\right\}}$

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.

Desplazamos el cm de la varilla y₀ y la giramos un ángulo θ₀ y a continuación la soltamos. La velocidad inicial es  dy/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.

Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_0=B+D\\ 0=A{\omega }_1+C{\omega }_2\\ {\theta }_0=\frac{m}{\beta }\left\{({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)B+({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)D\right\}\\ 0=\frac{m}{\beta }\left\{({\omega }_1^2-{\omega }_y^2){\omega }_{1}B+({\omega }_2^2-{\omega }_y^2){\omega }_{2}D\right\}\end{array}}$

Despejamos A, B, C, y D

A=C=0

${\displaystyle D=\frac{\frac{\beta }{m}{\theta }_0-({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)y_0}{{\omega }_2^2-{\omega }_1^2}B=\frac{-\frac{\beta }{m}{\theta }_0+({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)y_0}{{\omega }_2^2-{\omega }_1^2}}$

Las expresiones de la posición y y θ y velocidad dy/dt y dθ/dt en función del tiempo son

y(t)= Bcos(ω₁t)+ Dcos (ω₂t)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=-{\omega }_{1}B\sin ({\omega }_{1}t)-{\omega }_{2}D\sin ({\omega }_{2}t)\\ \theta (t)=\frac{m}{\beta }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_y^2\right)B\cos ({\omega }_{1}t)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_y^2\right)D\cos ({\omega }_{2}t)\right\}\\ \frac{d\theta }{dt}=-\frac{m}{\beta }\left\{\left({\omega }_1^2-{\omega }_y^2\right){\omega }_{1}B\sin ({\omega }_{1}t)+\left({\omega }_2^2-{\omega }_y^2\right){\omega }_{2}D\sin ({\omega }_{2}t)\right\}\end{array}}$

Modos normales de vibración

• El modo 1 de frecuencia angular ω₁, se obtiene cuando D=0,

La relación entre la posición inicial y₀ del cm. de la varilla y el ángulo inicial de giro θ₀ es

${\displaystyle y_0=\frac{\beta {\theta }_0}{m({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)}}$

B=y₀

La posición y del c.m. de la varilla y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

y(t)= y₀cos(ω₁t)

${\displaystyle \theta (t)=\frac{m}{\beta }\left({\omega }_1^2-{\omega }_y^2\right)y_0\cos ({\omega }_{1}t)}$

• El modo 2 de frecuencia angular ω₂, se obtiene cuando B=0,

La relación entre la posición inicial y₀ del cm. de la varilla y el ángulo inicial de giro θ₀ es

${\displaystyle y_0=\frac{\beta {\theta }_0}{m({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)}}$

D=y₀

La posición y del c.m. de la varilla y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}y(t)=y_0\cos ({\omega }_{2}t)\\ \theta (t)=\frac{m}{\beta }\left({\omega }_2^2-{\omega }_y^2\right)y_0\cos ({\omega }_{2}t)\end{array}}$

Oscilaciones no acopladas

Cuando β=0 las oscilaciones no están acopladas, se debe cumplir para ello que

k₁·d₁=k₂·d₂

Las ecuaciones del movimiento del c.m. de la varilla y de la rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. son

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }_y^{2}y=0\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }_{\theta }^2\theta =0\end{array}}$

y=A₁sin(ω_yt)+B₁cos(ω_yt)
θ=A₂sin(ω_θt)+B₂cos(ω_θt)

las constantes A₁, B₁, A₂, B₂ se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, y=y₀, dy/dt=0, θ=θ₀, dθ/dt=0

y=y₀cos(ω_yt)
θ=θ₀cos(ω_θt)

Este mismo resultado podemos obtenerlo a partir de las soluciones del sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales especificadas, al final del apartado “Ecuaciones del movimiento”

Cuando β→0, ω₁→ω_y, y ω₂→ω_θ, los coeficientes D→0, B→y₀

El movimiento del c.m. de la varilla es un MAS de frecuencia angular ω_y.

y=y₀cos(ω_yt)

Algo más complicado es obtener la ecuación del movimiento de rotación θ(t). Los coeficientes de cos(ω₁t) y de cos(ω₂t) valen respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{\beta \to 0}{\lim }\left(\frac{m({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)}{\beta }B\right)=\underset{\beta \to 0}{\lim }\left(\frac{m({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)}{\beta }\frac{\left(-\frac{\beta }{m}{\theta }_0+({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)y_0\right)}{({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)}\right)\to 0\\ \underset{\beta \to 0}{\lim }\left(\frac{m({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)}{\beta }D\right)=\underset{\beta \to 0}{\lim }\left(\frac{m({\omega }_2^2-{\omega }_y^2)}{\beta }\frac{\left(\frac{\beta }{m}{\theta }_0-({\omega }_1^2-{\omega }_y^2)y_0\right)}{({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)}\right)\to {\theta }_0\end{array}}$

La rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. es un MAS de frecuencias ω_θ

θ=θ₀cos(ω_θt)

Frecuencias iguales

Para que las frecuencias angulares sean iguales ω_y=ω_θ=ω se debe cumplir que

${\displaystyle \frac{k_1+k_2}{m}=\frac{(k_1{d}_1^2+k_2{d}_2^2)}{I_c}}$

Como I_c=mL²/12, se cumple esta igualdad si

${\displaystyle d_1=d_2=\frac{L}{2\sqrt{3}}}$

siendo L la longitud de la varilla

Las frecuencias ω₁ y ω₂ de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple

${\displaystyle {\omega }_1^2={\omega }^2+\frac{\beta }{\sqrt{m{I}_c}}{\omega }_2^2={\omega }^2-\frac{\beta }{\sqrt{m{I}_c}}}$

Es importante analizar el caso de que θ₀=0. Se desplaza la varilla hacia arriba o hacia abajo horizontalmente y₀ y luego, se suelta.

Los coeficientes B=D=y₀/2. El movimiento del c.m. de la varilla y la rotación de la varilla se describen mediante las ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}y(t)=\frac{y_0}{2}\left(\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)\right)\\ \theta (t)=\sqrt{3}\frac{y_0}{L}\left(\cos ({\omega }_{1}t)-\cos ({\omega }_{2}t)\right)\end{array}}$

• La relación entre la posición inicial y₀ del c.m. y el ángulo inicial de giro θ₀ es en el modo normal 1 de frecuencia angular ω₁ es

${\displaystyle y_0=\frac{L}{2\sqrt{3}}{\theta }_0}$

• La relación entre la posición inicial y₀ del c.m. y el ángulo inicial de giro θ₀ es en el modo normal 2 de frecuencia angular ω₂ es

${\displaystyle y_0=-\frac{L}{2\sqrt{3}}{\theta }_0}$

Balance energético

La energía del sistema está compuesta por los siguientes términos (véase la primera figura de esta página):

• La energía cinética de traslación del c.m. de la varilla $\frac{1}{2}m{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2$

• La energía cinética de rotación de la varilla alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. $\frac{1}{2}{I}_c{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}m{L}^2\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2$

• El muelle de la izquierda está deformado (x₁-y₁)=(x₁-y+d₁·θ). La energía potencial acumulada en el muelle deformado de constante k₁ es $\frac{1}{2}{k}_1{\left(x_1-y+d_1\theta \right)}^2$

• El muelle de la derecha está deformado (x₂-y₂)=(x₂-y-d₂·θ). La energía potencial acumulada en el muelle deformado de constante k₂ es $\frac{1}{2}{k}_2{\left(x_2-y-d_2\theta \right)}^2$ .
  x₁ y x₂ son las deformaciones de los muelles cuando soportan la varilla horizontal y en reposo.

• El centro de masa se encuentra a una altura y sobre la posición de equilibrio, la energía potencial es mgy.

Como el sistema es conservativo, la suma de todas estas energías es constante.

Actividades

Se introduce

• La constante elástica k₁ del muelle de la izquierda en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k1.

• La constante elástica k₂ del muelle de la derecha en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k2.

• La masa de la varilla se ha fijado en m=1 kg

• La longitud de la varilla se ha fijado en L=2 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Con el puntero del ratón se arrastra los pequeños círculos de color rojo, para establecer la posición de enganche de los muelles a la varilla, es decir las distancias d₁ y d₂ de los muelles al c.m.

• Se establece la posición inicial y₀ del c.m. de la varilla, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición

• Se establece el ángulo inicial θ₀ de giro de la varilla en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de sistema, o la representación gráfica de:

• El desplazamiento x en función del tiempo, activando la casilla Traslación y pulsando el botón titulado Gráfica
• El desplazamiento angular θ en función del tiempo, activando la casilla Rotación y pulsando el botón titulado Gráfica

Para comenzar una nueva "experiencia", se pulsa el botón titulado Inicio

En la parte superior derecha del applet, se proporciona el valor de la energía total del sistema, que deberá permanecer constante.

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Pulse el botón Inicio, arrastre con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo

Referencias

Karioris F. G., Mendelson K. S., A novel coupled oscillation demostration. Am. J. Phys. 60 (6) June 1992, pp. 508-513

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García