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Rebotes elásticos de una pelota entre dos paredes paralelas horizontales

En esta página, aplicaremos los principios de conservación del momento angular y de la energía para estudiar los sucesivos rebotes elásticos de una pelota entre dos paredes paralelas horizontales y en ausencia de la gravedad. Estudiaremos el comportamiento de la pelota cuando cambia su momento de inercia, es decir, la distribución de masa en su interior y veremos que son posibles movimientos periódicos.

Choque con una pared horizontal

Consideremos una pelota de masa m y radio R, su momento de inercia es es I=γmR² respecto de un eje que pasa por el centro y es perpendicular al plano de la trayectoria (de la figura) del centro de masas.

• Inmediatamente antes del choque, el centro de la pelota tiene una velocidad cuya componente horizontal es V_0x y cuya componente vertical es V_0y. La velocidad angular de rotación de la pelota es ω₀.
• Inmediatamente después del choque, el centro de la pelota tendrá una velocidad cuya componente horizontal es V_1x y cuya componente vertical es V_1y. La velocidad angular de rotación de la pelota será ω₁.

Supondremos que:

1. La componente vertical de la velocidad no cambia de módulo pero cambia de sentido después del choque.

${\displaystyle V_{0y}=-V_{1y}}$

2. En el momento del choque, la fuerza que ejerce la pared sobre la pelota actúa en el punto de contacto O. Por lo que el momento angular de la pelota respecto de  dicho punto permanece constante.

${\displaystyle \begin{array}{l}-m{V}_{0x}R+I{\omega }_0=-m{V}_{1x}R+I{\omega }_1\\ -V_{0x}+\gamma R{\omega }_0=-V_{1x}+\gamma R{\omega }_1\\ V_{1x}-V_{0x}=-\gamma R\left({\omega }_0-{\omega }_1\right)\end{array}}$

3. Se conserva la energía cinética (choque elástico)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{V}_{0x}^2+\frac{1}{2}m{V}_{0y}^2+\frac{1}{2}I{\omega }_0^2=\frac{1}{2}m{V}_{1x}^2+\frac{1}{2}m{V}_{1y}^2+\frac{1}{2}I{\omega }_1^2\\ V_{0x}^2+\gamma R^2{\omega }_0^2=V_{1x}^2+\gamma R^2{\omega }_1^2\\ \left(V_{1x}-V_{0x}\right)\left(V_{1x}+V_{0x}\right)=\gamma R^2\left({\omega }_0-{\omega }_1\right)\left({\omega }_0+{\omega }_1\right)\\ V_{1x}+V_{0x}=-\left({\omega }_0+{\omega }_1\right)R\end{array}}$

Despejamos V_1x y ω₁ en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{V}_{1x}+V_{0x}=-\left({\omega }_0+{\omega }_1\right)R\\ V_{1x}-V_{0x}=-\gamma R\left({\omega }_0-{\omega }_1\right)\end{array}}$

Después del primer choque, las velocidades V_1x y Rω₁ se expresan en términos de las velocidades iniciales V_0x y Rω₀

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{1x}=\frac{1}{1+\gamma }\left((1-\gamma )V_{0x}-2\gamma R{\omega }_0\right)\\ R{\omega }_1=\frac{1}{1+\gamma }\left(-2V_{0x}-(1-\gamma )R{\omega }_0\right)\end{array}}$  (1)

Choque con la pared opuesta

1. La componente vertical de la velocidad no cambia de módulo pero cambia de sentido después del choque.

${\displaystyle V_{1y}=-V_{2y}}$

2. En el momento del choque, la fuerza que ejerce la pared sobre la pelota actúa en el punto de contacto O. Por lo que el momento angular de la pelota respecto de dicho punto permanece constante.

${\displaystyle \begin{array}{l}m{V}_{1x}R+I{\omega }_1=m{V}_{2x}R+I{\omega }_2\\ V_{1x}+\gamma R{\omega }_1=V_{2x}+\gamma R{\omega }_2\\ V_{2x}-V_{1x}=\gamma R\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)\end{array}}$

3. Se conserva la energía cinética (choque elástico)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{V}_{1x}^2+\frac{1}{2}m{V}_{1y}^2+\frac{1}{2}I{\omega }_1^2=\frac{1}{2}m{V}_{2x}^2+\frac{1}{2}m{V}_{2y}^2+\frac{1}{2}I{\omega }_2^2\\ V_{1x}^2+\gamma R^2{\omega }_1^2=V_{2x}^2+\gamma R^2{\omega }_2^2\\ \left(V_{2x}-V_{1x}\right)\left(V_{2x}+V_{1x}\right)=\gamma R^2\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)\left({\omega }_1+{\omega }_2\right)\\ V_{2x}+V_{1x}=\left({\omega }_1+{\omega }_2\right)R\end{array}}$

Despejamos V_1x y ω₁ en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{V}_{2x}+V_{1x}=\left({\omega }_1+{\omega }_2\right)R\\ V_{2x}-V_{1x}=\gamma R\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)\end{array}}$

Después del segundo choque, las velocidades V_2x y Rω₂ se expresan en términos de las velocidades V_1x y Rω₁ de la pelota después del primer choque.

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{2x}=\frac{1}{1+\gamma }\left((1-\gamma )V_{1x}+2\gamma R{\omega }_1\right)\\ R{\omega }_2=\frac{1}{1+\gamma }\left(2V_{1x}-(1-\gamma )R{\omega }_1\right)\end{array}}$  (2)

Sucesivos choques

Después del segundo choque, la pelota se dirige hacia la primera pared, las ecuaciones (1) nos permiten calcular V_3x, V_3y, Rω₃ en términos de V_2x, V_2y, Rω₂. Después del tercer choque, la pelota se dirige hacia la pared opuesta, las ecuaciones (2) nos permiten calcular V_4x, V_4y, Rω₄ en términos de V_3x, V_3y, Rω₃ y así, sucesivamente.

Se puede despejar la componentes de la velocidad del centro de la pelota V_nx y V_ny y la velocidad angular de rotación Rω_n después de n choques en términos de las correspondientes velocidades iniciales V_0x, V_0y, Rω₀ (véase Tavares)

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{ny}={\left(-1\right)}^n{V}_{0y}\\ V_{nx}=\cos (n\theta )V_{0x}-\sqrt{\gamma }\sin (n\theta ){\omega }_{0}R\\ {\omega }_{n}R={\left(-1\right)}^n\left(\frac{1}{\sqrt{\gamma }}\sin (n\theta )V_{0x}+\cos (n\theta ){\omega }_{0}R\right)\end{array}\}\cos \theta =\frac{1-\gamma }{1+\gamma }}$  (3)

Si la distribución de masa es tal que θ=2π/k donde k es un entero k≥4 los valores de las velocidades se repiten.

Por ejemplo, para k=4, (γ=1) V_nx y ω_n se repiten después de cuatro choques con las paredes.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Vx	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1
Rω	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1
Vx	1	0	-1	0	1	0	-1	0	1
Rω	0	-1	0	1	0	-1	0	1	0

La trayectoria se repite después de cuatro choques

Para k=5 (γ≈0.52786), V_nx se repite después de cinco choques y ω_n se repiten después de diez choques.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Vx	1	-0.38	-1.24	-0.38	1	1	-0.38	-1.24	-0.38	1	1	-0.38
Rω	1	-1.62	0	1.62	-1	-1	1.62	0	-1.62	1	1	-1.62
Vx	1	0.31	-0.81	-0.81	0.31	1	0.31	-0.81	-0.81	0.31	1	0.31
Rω	0	-1.31	0.81	0.81	-1.31	0	1.31	-0.81	-0.81	1.31	0	-1.31

La trayectoria se repite después de diez choques

Para k=6 (γ=1/3), V_nx se repite después de seis choques y ω_n se repiten después de tres choques.

n	0	1	2	3	4	5	6	7
Vx	1	0	-1	-1	0	1	1	0
Rω	1	-2	1	1	-2	1	1	-2
Vx	1	0.5	-0.5	-1	-0.5	0.5	1	0.5
Rω	0	-1.5	1.5	0	-1.5	1.5	0	-1.5

La trayectoria se repite después de seis choques

Utilizando las fórmulas (3) para k=5 (γ≈0.52786), las velocidades después del n=6 choque son

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{6x}=\cos \left(6\frac{2\pi }{5}\right)·V_{0x}-\sqrt{0.52786}\sin \left(6\frac{2\pi }{5}\right)R{\omega }_0\\ R{\omega }_6={\left(-1\right)}^6\left(\frac{1}{\sqrt{0.52786}}\sin \left(6\frac{2\pi }{5}\right)·V_{0x}+\cos \left(6\frac{2\pi }{5}\right)R{\omega }_0\right)\end{array}}$

• Para las condiciones iniciales: V_0x=1, Rω₀=1

V_6x=-0.382, Rω₀=1.618

• Para las condiciones iniciales: V_0x=1, Rω₀=0

V_6x=0.309, Rω₀=1.309

En la figura, se representa la trayectoria del centro de la pelota (una esfera γ=2/5) después de rebotar muchas veces con las paredes horizontales.

Actividades

Se introduce

• La velocidad inicial horizontal, V_0x, actuando en la barra de desplazamiento titulada V. Horizontal Vx
• La velocidad inicial de rotación, ω₀, actuando en la barra de desplazamiento titulada V. Rotación ω.
• El coeficiente γ del momento de inercia I=γmR²  de la pelota, en el control de edición titulado gamma
•  La velocidad inicial vertical se ha fijado en V_0y=-1
• El radio de la pelota se ha fijado en R=1

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observar el movimiento de la pelota y anotar las velocidades iniciales V_0x, Rω₀ de la pelota y las velocidades V_nx, Rω_n después de cada choque n.

Referencias

Tavares J. M. The elastic bounces of a sphere between two parallel walls. Am. J. Phys. 75 (8) August 2007. pp. 690-695

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García