Equilibrio de una barra

En esta página, se explica el concepto de momento de una fuerza y se aplica al equilibrio de una barra horizontal apoyada en un extremo.

Momento de una fuerza

Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas:

¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?
¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.

En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d.

En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento es F/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una llave más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario.

Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=r×F

El vector M tiene

Por módulo, M=F·r·sinθ=F·d. Siendo del brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la dirección de la fuerza)
Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O.
Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la llave. M=F·r·sinθ=F·d
La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z
El sentido viene determinado por el avance del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.

Ejemplos

Hallar el momento (módulo dirección y sentido) de la fuerza F de módulo 6 N respecto del origen. El punto P de aplicación de la fuerza se encuentra a 45 cm del origen.

Brazo de la fuerza, d=0.45·sin20º

$M {\begin{cases} Módulo 6·d \\ Dirección, eje Z \\ Sentido,– \end{cases}} = -0.92 \hat{k} N·m$

Varilla que pende de dos muelles

La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k₁ y k₂ y de longitudes l₀₁ y l₀₂ sin deformar, situados a una distancia d₁ y d₂ a uno y otro lado del c.m de la varilla

La fuerza que ejerce el muelle situado a la izquierda del c.m. es F₁=k₁x₁, donde x₁ es la deformación del muelle
La fuerza que ejerce el muelle situado a la derecha del c.m. es F₂=k₂x₂, donde x₂ es la deformación del muelle

Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.

k₁x₁+ k₂x₂=mg
-k₁x₁·d₁+ k₂x₂·d₂=0

Despejamos x₁ y x₂

$x_{1} = \frac{m g}{k_{1}} \frac{d_{2}}{d_{1} + d_{2}} x_{2} = \frac{m g}{k_{2}} \frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}$

El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l₁=l₀₁+x₁ por encima de la varilla horizontal
El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l₂=l₀₂+x₂ por encima de la varilla horizontal

Ejemplo:

Constantes elásticas de los muelles: k₁=50 N/m, k₂=25 N/m
Masa de la barra, m=1 kg
Longitud de los muelles sin deformar, l₀₁=l₀₂=0.5 m

Cuando d₁=75 cm, d₂=90 cm, las deformaciones son

$x_{1} = \frac{1 \cdot 9.8}{50} \frac{0.9}{0.9 + 0.75} = 0 .107 m x_{2} = \frac{1 \cdot 9.8}{25} \frac{0.75}{0.9 + 0.75} = 0 .178$

El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l₁=50+10.7=60.7 cm por encima de la varilla horizontal
El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l₂=50+17.8=67.8 cm por encima de la varilla horizontal

Actividades

Se introduce

La constante elástica k₁ del muelle de la izquierda en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k1.
La constante elástica k₂ del muelle de la derecha en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k2.
La masa de la varilla se ha fijado en m=1 kg
Las longitudes de los mulles sin deformar se ha fijado en l₀=50 cm

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón se arrastra los pequeños círculos de color rojo, para establecer la posición de enganche de los muelles a la varilla, es decir las distancias d₁ y d₂ de los muelles al c.m.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Se pulsa el botón Nuevo, arrastrar con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo