• Inicio
• Sólido rígido
• Movimiento general

Una esfera que rueda sobre una plataforma giratoria

La situación física que se estudia en esta página, es el de una esfera sólida que rueda sin deslizar sobre una plataforma giratoria inclinada un ángulo α. Este problema está conectado con el movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y magnético cruzados.

Cuando la plataforma es horizontal la esfera describe una órbita circular con una velocidad angular que es las dos séptimas partes de la velocidad angular de la plataforma. Cuando se inclina la plataforma, se superpone al movimiento circular un movimiento rectilíneo con velocidad constante hacia un lado (no a lo largo de la pendiente) denominada velocidad de deriva.

Ecuaciones del movimiento de la esfera

Para describir el movimiento de la esfera, situamos el Sistema de Referencia Inercial del siguiente modo: eje Y a lo largo de la plataforma inclinada un ángulo α, el eje X perpendicular al mismo y el eje Z perpendicular al plano de la plataforma, tal como se muestra en las figuras.

La esfera parte de la posición x₀, y₀ con velocidad V₀, cuyas componentes son V_0x=V₀·cosφ, V_0y=V₀·sinφ, rodando sin deslizar sobre la plataforma

Descomponemos el movimiento de la esfera de masa m y radio R en el plano, en dos movimientos.

• A largo del eje X, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad V_x y gira con velocidad angular ω_y alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.

• A largo del eje Y, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad V_y y gira con velocidad angular ω_x, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m

 

Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la esfera con la plataforma son:

v_x=V_x-ω_y·R
v_y=V_y+ω_x·R

Si el punto de contacto P dista r del eje de rotación de la plataforma que gira con velocidad angular Ω. Las componentes de la velocidad del punto P

v_x=-Ω·r·sinθ=-Ω·y
v_y=Ω·r·cosθ=Ω·x

Para que la esfera ruede sin deslizar, el punto de contacto P debe de estar en reposo respecto de la plataforma. Se cumplirá por tanto,

-Ω·y=V_x-ω_y·R
Ω·x=V_y+ω_x·R      (1)

Las fuerzas sobre la esfera son:

• El peso mg

• La reacción del plano N

• La fuerza de rozamiento F en el punto de contacto P, cuyo valor y dirección en el plano son desconocidos

Como vemos en la figura, la componente F_x de la fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación

La componente F_y y la componente mg·senα se opone al movimiento de traslación del c.m. y la primera, al movimiento de rotación

Ecuación del movimiento del centro de masas

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d{V}_x}{dt}=-F_x\\ m\frac{d{V}_y}{dt}=-F_y-mg\text{sin}\alpha \end{array}}$

Ecuación de la dinámica de rotación

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_c\frac{d{\omega }_x}{dt}=-F_{y}R\\ I_c\frac{d{\omega }_y}{dt}=F_{x}R\end{array}}$

Para una esfera la fórmula del momento de inercia es I_c=2mR²/5

Eliminamos las dos componentes desconocidas de la fuerza de rozamiento F_x, y F_y en las ecuaciones del movimiento.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{V}_x}{dt}=-\frac{2}{5}R\frac{d{\omega }_y}{dt}\\ \frac{d{V}_y}{dt}=\frac{2}{5}R\frac{d{\omega }_x}{dt}-g·\text{sin}\alpha \end{array}}$

Derivamos respecto del tiempo las ecuaciones (1)

${\displaystyle \begin{array}{l}-\Omega V_y=\frac{d{V}_x}{dt}-R\frac{d{\omega }_y}{dt}\\ \Omega V_x=\frac{d{V}_y}{dt}+R\frac{d{\omega }_x}{dt}\end{array}}$

Eliminamos las derivadas de las componentes de la velocidad angular dω_x/dt, y dω_y/dt, y obtenemos las ecuaciones diferenciales del movimiento del c.m. de la esfera.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{7}{2}\frac{d{V}_x}{dt}=-\Omega V_y\\ \frac{7}{2}\frac{d{V}_y}{dt}=\Omega V_x-\frac{5}{2}g\text{sin}\alpha \end{array}}$

Trayectoria del c.m. de la esfera

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas. Para desacoplarlas, despejamos V_y de la primera ecuación y la introducimos en la segunda.

${\displaystyle \frac{d^2{V}_x}{d{t}^2}+\frac{2^2{\Omega }^2}{7^2}{V}_x=\frac{10\Omega }{49}g\text{sin}\alpha }$

La solución de esta ecuación diferencial (similar a la de un MAS) es de la forma

V_x=Acos(k·t)+B·sin(k·t)+c

donde k=2Ω/7

Introduciendo V_x en la ecuación diferencial, obtenemos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

${\displaystyle V_x=A\cos \left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)+B\text{sin}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)+\frac{5g}{2\Omega }\text{sin}\alpha }$

A partir de la expresión de V_x, obtenemos la componente V_y de la velocidad del c.m.

${\displaystyle V_y=-\frac{7}{2\Omega }\frac{d{V}_x}{dt}=A\text{sin}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)-B\text{cos}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)}$

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad del c.m. son (V_0x, V_0y).

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_x=\left(V_{0x}-\frac{5g}{2\Omega }\text{sin}\alpha \right)\cos \left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)-V_{0y}\text{sin}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)+\frac{5g}{2\Omega }\text{sin}\alpha \\ V_y=\left(V_{0x}-\frac{5g}{2\Omega }\text{sin}\alpha \right)\text{sin}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)+V_{0y}\text{cos}\left(\frac{2\Omega }{7}·t\right)\end{array}}$

Podemos escribir estas ecuaciones de forma general definiendo dos variables, cuyo significado veremos más adelante.

${\displaystyle V_d=\frac{5g}{2\Omega }\text{sin}\alpha {\omega }_c=\frac{2\Omega }{7}}$

V_x=(V_0x-V_d)·cos(ω_ct)-V_0y·sin(ω_c·t)+V_d
V_y=(V_0x-V_d)·sin(ω_ct)+V_0y·cos(ω_c·t)

Sabiendo que en el instante t=0, la posición del centro de la esfera es (x₀, y₀), calculamos la abscisa x del centro de la esfera integrando la expresión de la velocidad V_x en función del tiempo. Se hace lo mismo para la ordenada y.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=x_0+\frac{1}{{\omega }_c}\left\{(V_{0x}-V_d\text{)sin(}{\omega }_c·t)+V_{0y}(\text{cos(}{\omega }_c·t)-1)\right\}+V_{d}t\\ y=y_0+\frac{1}{{\omega }_c}\left\{(V_{0x}-V_d)(1-\text{cos(}{\omega }_c·t))+V_{0y}\text{sin(}{\omega }_c·t)\right\}\end{array}}$

Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma

${\displaystyle \begin{array}{l}x-x_0+\frac{V_{0y}}{{\omega }_c}-V_{d}t=\frac{1}{{\omega }_c}\left\{\text{(}{V}_{0x}-V_d\text{)sin(}{\omega }_c·t)+V_{0y}\text{cos(}{\omega }_c·t)\right\}\\ y-y_0-\frac{1}{{\omega }_c}(V_{0x}-V_d)=\frac{1}{{\omega }_c}\left\{-\text{(}{V}_{0x}-V_d\text{)cos(}{\omega }_c·t)+V_{0y}\text{sin(}{\omega }_c·t)\right\}\end{array}}$

Elevando al cuadrado y sumando

${\displaystyle {\left(x-x_0+\frac{V_{0y}}{{\omega }_c}-V_{d}t\right)}^2+{\left(y-y_0-\frac{V_{0x}}{{\omega }_c}+\frac{V_d}{{\omega }_c}\right)}^2=\frac{1}{{\omega }_c^2}\left\{{\left(V_{0x}-V_d\right)}^{\text{2}}+V_{0y}^2\right\}}$

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y de radio R_c

(x-a)²+(y-b)²=R_c²

donde

${\displaystyle \begin{array}{l}a=x_0-\frac{V_{0y}}{{\omega }_c}+V_{d}tb=y_0+\frac{V_{0x}}{{\omega }_c}-\frac{V_d}{{\omega }_c}\\ R_c=\frac{1}{{\omega }_c}\sqrt{{\left(V_{0x}-V_d\right)}^{\text{2}}+V_{0y}^2}\end{array}}$

El centro se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con  velocidad V_d., que se denomina velocidad de deriva.

Ejemplo

• Posición inicial de la esfera: y₀=0, x₀=-0.4

• Velocidad inicial de la esfera: V₀=0.2, φ=90º bien,  V_x0=0, V_y0=0.2

• Velocidad angular de rotación de la plataforma: Ω=2 rad/s

• Inclinación de la plataforma α=0.2

Casos particulares

Cuando la plataforma está horizontal α=0

Si la plataforma está horizontal α=0, y V_d=0

La circunferencia está centrada en el punto fijo

${\displaystyle a=x_0-\frac{V_{0y}}{{\omega }_c}b=y_0+\frac{V_{0y}}{{\omega }_c}{R}_c=\frac{V_0}{{\omega }_c}}$

La esfera describe una circunferencia alrededor de un centro que no coincide con el eje de rotación de la plataforma. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es

${\displaystyle \frac{2\pi }{{\omega }_c}=\frac{7}{2}\frac{2\pi }{\Omega }}$

7/2 veces el tiempo que precisa la plataforma en dar una vuelta completa. Así pues, ω_c es la frecuencia angular de la esfera en su movimiento orbital sobre la plataforma giratoria. Como la esfera rueda sin deslizar, no se deberá confundir ω_c con la velocidad angular de rotación de la esfera alrededor de su propio eje

Ejemplo:

• Posición inicial de la esfera y₀=0, x₀=0.8

• Velocidad inicial de la esfera: V₀=0.2, φ=90º bien,  V_x0=0, V_y0=0.2

• Velocidad angular de rotación de la plataforma: Ω=2 rad/s

• Inclinación de la plataforma α=0

Cuando la esfera parte del reposo

V_0x=V_0y=0 desde el origen x₀=0, y₀=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{V_d}{{\omega }_c}\left\{\text{-sin}\left({\omega }_c·t\right)+{\omega }_c·t\right\}\\ y=\frac{V_d}{{\omega }_c}\left(-1+\text{cos}\left({\omega }_c·t\right)\right)\end{array}}$

que son las ecuaciones de una cicloide

Ejemplo:

• Posición inicial de la esfera: y₀=0, x₀=-0.8

• Inclinación de la plataforma α=0.2

• Velocidad inicial de la esfera: V₀=0, φ=0º bien,  V_x0=0.0, V_y0=0.0

• Velocidad angular de rotación de la plataforma: Ω=2 rad/s

Movimiento rectilíneo

Si V_0y=0, y V_0x=V_d.

x=x₀+V_d·t
y=y₀

La esfera se mueve horizontalmente a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad constante.

Ejemplo:

• Posición inicial de la esfera: y₀=0, x₀=-0.8

• Inclinación de la plataforma α=0.2

• Velocidad inicial de la esfera: V₀=5g·sinα/(2Ω), φ=0º bien,  V_x0=0.043, V_y0=0.0

• Velocidad angular de rotación de la plataforma: Ω=2 rad/s

Actividades

Se introduce

• La posición de partida x₀, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición. La ordenada se ha fijado en y₀=0.

• La velocidad angular de rotación Ω de la plataforma, en el control de edición titulado V. angular

• La velocidad inicial V₀ de la esfera, en el control de edición titulado Velocidad inicial

• La orientación φ del vector velocidad inicial V₀, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo velocidad. Las componentes del vector velocidad son: V_0x=V₀·cosφ, V_0y=V₀·sinφ.

• El ángulo α de inclinación de la plataforma, actuando en la barra de desplazamiento titulada Inclinación plataforma.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la esfera sobre la plataforma horizontal a inclinada.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Sambles J. R., Preist T. W., Lang S. R., Toms R. P. A rolling sphere on a tilted rotating turntable. Phys. Educ. 18, (1983), pp. 234-239

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García