Oscilaciones de una partícula situada en el borde de un aro que rueda

La cicloide es una de curvas más importantes en la Física y las Matemáticas, junto a la catenaria y otras curvas. La curva cicloide se encuentra al estudiar varios fenómenos físicos:

Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar
Forma que adopta un tobogán para que una partícula que desliza sin rozamiento emplee un tiempo mínimo en recorrerlo
Forma que debe adoptar un camino para que un cuerpo que rueda sin deslizar describa un MAS.
Finalmente, encontraremos la cicloide en el movimiento de una partícula en una región donde existe un campo eléctrico y un campo magnético cruzados.

Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar

La cicloide se produce cuando se hace rodar sin deslizar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

cicloide1.gif (3041 bytes)

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

cicloide2.gif (2695 bytes) x=v_c·t+R·sinθ
y=R-R·cosθ

donde R es el radio del círculo y θ el ángulo girado en el tiempo t, θ=ω·t.

La relación entre la velocidad de traslación del centro de masas v_c y de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el c.m. es v_c=ω ·R.

La ecuaciones paramétricas de la cicloide son

x=R(θ +sinθ )
y=R(1-cosθ )

Oscilaciones de una partícula situada en el borde de un aro que rueda

Supongamos que una partícula de masa m se sitúa en el bode de un aro de radio R, que supondremos de masa despreciable, y que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. En la figura, se muestra la situación inicial:

la partícula forma un ángulo α con la dirección vertical
el centro del aro está a una distancia Rα del origen O, o posición de equilibrio estable.

Trataremos de determinar la posición de la masa puntual a cabo de un cierto tiempo t, así como el periodo P de las oscilaciones que describe este sistema mecánico.

La condición de rodar sin deslizar, implica que el aro gira un ángulo θ, a la vez que su centro se traslada una distancia Rθ, tal como se muestra en la figura.

Las coordenadas de la partícula respecto al sistema de referencia, situado en la posición de equilibrio estable son

x=Rθ-Rsinθ
y=R-Rcosθ

Las componentes de la velocidad partícula se obtienen derivando, respecto del tiempo t, las coordenadas x e y.

$\begin{array}{l} v_{x} = \frac{d x}{d t} = R (1 - \cos θ) \frac{d θ}{d t} \\ v_{y} = \frac{d y}{d t} = R sin θ \frac{d θ}{d t} \end{array}$

Principio de conservación de la energía

La energía cinética es

$E_{k} = \frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) = 2 m R^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} {sin}^{2} \frac{θ}{2}$

la energía potencial es

$E_{p} = m g y = 2 m g R {sin}^{2} \frac{θ}{2}$

La energía total, es la suma de ambas contribuciones, e igual a la energía potencial cuando la partícula se encuentra en el extremo de su trayectoria, θ=α, dθ/dt=0.

$2 m R^{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} {sin}^{2} \frac{θ}{2} + 2 m g R {sin}^{2} \frac{θ}{2} = 2 m g R {sin}^{2} \frac{α}{2}$

Ecuación del movimiento

Separando las variables t y θ, la ecuación del movimiento se escribe

$\frac{-sin (θ / 2) d θ}{\sqrt{{sin}^{2} (α / 2) - {sin}^{2} (θ / 2)}} = \sqrt{\frac{g}{R}} d t$

El signo menos aparece porque el ángulo θ disminuye con el tiempo. En el instante inicial t=0, la partícula se encuentra en la posición de máximo desplazamiento, θ=α, y se dirige hacia el origen O.

Para integrar la ecuación diferencial, transformamos el denominador en otra forma equivalente usando la conocida relación sen²+cos²=1

$\frac{-sin (θ / 2) d θ}{\sqrt{{-cos}^{2} (α / 2) + \cos^{2} (θ / 2)}} = \sqrt{\frac{g}{R}} d t$

Haciendo el cambio de variable

$u = \frac{\cos (θ / 2)}{\cos (α / 2)} \int_{u_{0}}^{u} \frac{2 d u}{\sqrt{u^{2} - 1}} = Ω t$

donde u₀=1 es el valor de u para θ=α, que es la posición inicial de partida tal como se muestra en la primera figura. Ω es la frecuencia angular de las oscilaciones de un péndulo de longitud igual al radio R de aro.

Esta integral es inmediata y puede consultarse en la tabla de integrales

$\ln | u + \sqrt{u^{2} - 1} | - \ln u_{0} = \frac{Ω t}{2}$

Como 0≤θ/2≤α/2≤π/2, se cumple que u≥1

$u + \sqrt{u^{2} - 1} = \exp (\frac{Ω t}{2})$

Despejamos la raíz cuadrada, elevamos ambos miembros al cuadrado, simplificamos y despejamos u.

$u = \frac{\exp (Ω t / 2) + \exp (- Ω t / 2)}{2} = \cosh (\frac{Ω t}{2})$

Finalmente, deshacemos el cambio de variable, para obtener la ecuación del movimiento.

cos(θ/2)=cos(α/2)cosh(Ωt/2)

Periodo de las oscilaciones

El tiempo que tarda en alcanzar la posición θ=0, mide un cuarto del periodo P de este oscilador mecánico

1=cos(α/2)cosh(ΩP/8),

De esta ecuación, despejamos el periodo P. Para ello, hacemos uso de la relación cosh²-sinh²=1

$\exp (\frac{Ω P}{8}) = \frac{1 + sin (α / 2)}{\cos (α / 2)} P = 8 \sqrt{\frac{R}{g}} \ln (\frac{1 + sin (α / 2)}{\cos (α / 2)})$

El periodo P es función de la amplitud α, y tiende a cero cuando la amplitud se hace pequeña, y a infinito cuando α tiende a 180º (posición de equilibrio inestable). En el péndulo simple, el periodo es función de la amplitud, pero es aproximadamente independiente de la amplitud cuando se separa ligeramente de la posición de equilibrio estable.

Actividades

Se introduce

El ángulo inicial α, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo inicial
El radio del aro se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observar las oscilaciones de la partícula situada en el borde del aro que rueda sin deslizar, y medir el periodo P de las oscilaciones y compararlo con el calculado mediante la fórmula deducida al final de esta página.

CinemaApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Levy-Leblond J.M. Rock and roll: Non-isochronous small oscillations (an example). Am. J. Phys. 46 (1) January 1978, pp. 106-107