Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados

Hemos estudiado el movimiento de una partícula cargada bajo la acción de un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí, en las siguientes situaciones:

Cuando la partícula no se desvía (selector de velocidades)
Bajo la acción exclusiva del campo eléctrico
Bajo la acción del campo magnético

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de una partícula de masa m, y carga q, sometida a la acción simultánea de un campo eléctrico E, y de un campo magnético B, ambos uniformes y perpendiculares entre sí. Este situación es análoga a la de una esfera que rueda sin deslizar sobre una plataforma giratoria

Ecuaciones del movimiento

Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la dirección del eje Y, y el vector velocidad v está en el plano XY. La partícula cargada parte de la posición inicial (x₀, y₀) con velocidad inicial (v_0x, v_0y)

La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es

F_e=q·E.

La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es

F_m=q·v×B

La ecuación del movimiento de es

$m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = q E + q v \times B$

Las componentes de E, B y v son

B (0, 0, B)
E (0, E, 0)
v (v_0x, v_0y, 0,)

$m (\frac{d v_{x}}{d t} i + \frac{d v_{y}}{d t} j + \frac{d v_{z}}{d t} k) = q E j + q | \begin{matrix} i & j & k \\ v_{x} & v_{y} & 0 \\ 0 & 0 & B \end{matrix} |$

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

$\begin{array}{l} \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{q B}{m} v_{y} \\ \frac{d v_{y}}{d t} = \frac{q E}{m} - \frac{q B}{m} v_{x} \\ \frac{d v_{z}}{d t} = 0 \end{array}$

La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, v_z=v_0z=0

Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω =qB/m, que es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.

Despejamos v_y en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.

$\frac{d^{2} v_{x}}{d t^{2}} + ω^{2} v_{x} = \frac{q^{2} E B}{m^{2}}$

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

v_x=C·cos(ω·t)+D·sin(ω·t)+c

Introduciendo v_x en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

$v_{x} = C \cos (ω \cdot t) + D \sin (ω \cdot t) + \frac{E}{B}$

Calculamos la componente v_y de la velocidad de la partícula

$v_{y} = \frac{1}{ω} \frac{d v_{x}}{d t} = - C \sin (ω \cdot t) + D cos (ω \cdot t)$

Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v_0x, v_0y).

$\begin{array}{l} v_{x} = (v_{0 x} - \frac{E}{B}) \cos (ω \cdot t) + v_{0 y} \sin (ω \cdot t) + \frac{E}{B} \\ v_{y} = - (v_{0 x} - \frac{E}{B}) \sin (ω \cdot t) + v_{0 y} cos (ω \cdot t) \end{array}$

Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva

$v_{d} = \frac{E}{B}$

cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de v_x y v_y quedarán como sigue

$\begin{array}{l} v_{x} = (v_{0 x} - v_{d}) \cos (ω \cdot t) + v_{0 y} \sin (ω \cdot t) + v_{d} \\ v_{y} = - (v_{0 x} - v_{d}) \sin (ω \cdot t) + v_{0 y} cos (ω \cdot t) \end{array}$

Sabiendo que en el instante t=0, la posición de la partícula es (x₀, y₀), calculamos la coordenada x del centro de la bola integrando la expresión de la velocidad v_x en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.

$\begin{array}{l} x = x_{0} + \frac{1}{ω} {(v_{0 x} - v_{d})sin(ω \cdot t) + v_{0 y} (1 - cos(ω \cdot t))} + v_{d} t \\ y = y_{0} + \frac{1}{ω} {(v_{0 x} - v_{d}) (cos(ω \cdot t) - 1) + v_{0 y} sin(ω \cdot t)} \end{array}$

Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma

$\begin{array}{l} x - x_{0} - \frac{v_{0 y}}{ω} - v_{d} t = \frac{1}{ω} {(v_{0 x} - v_{d})sin(ω \cdot t) - v_{0 y} cos(ω \cdot t)} \\ y - y_{0} + \frac{1}{ω} (v_{0 x} - v_{d}) = \frac{1}{ω} {(v_{0 x} - v_{d})cos(ω \cdot t) + v_{0 y} sin(ω \cdot t)} \end{array}$

Elevando al cuadrado y sumando

${(x - x_{0} - \frac{v_{0 y}}{ω} - v_{d} t)}^{2} + {(y - y_{0} + \frac{v_{0 x}}{ω} - \frac{v_{d}}{ω})}^{2} = \frac{1}{ω^{2}} {{(v_{0 x} - v_{d})}^{2} + v_{0 y}^{2}}$

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio R_c

(x-a)²+(y-b)²=R_c²

donde

$\begin{array}{l} a = x_{0} + \frac{v_{0 y}}{ω} + v_{d} t b = y_{0} - \frac{v_{0 x}}{ω} + \frac{v_{d}}{ω} \\ R_{c} = \frac{1}{ω} \sqrt{{(v_{0 x} - v_{d})}^{2} + v_{0 y}^{2}} \end{array}$

El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad v_d

Ejemplo

Posición inicial de la partícula: y₀=0, x₀=-0.8
Velocidad inicial v₀=0.3, φ=90º o bien, v_x0=0, v_y0=0.3
Velocidad angular: ω=qB/m=1.0
Velocidad deriva v_d=E/B=0.05
Carga positiva

Casos particulares

Movimiento circular

Cuando el campo eléctrico es nulo E=0, v_d=0

La partícula describe una circunferencia en el campo magnético, cuyo centro y radio son:

$a = x_{0} + \frac{v_{0 y}}{ω} b = y_{0} - \frac{v_{0 x}}{ω} R_{c} = \frac{v_{0}}{ω}$

Ejemplo

Posición inicial de la partícula: y₀=0, x₀=0.4

Velocidad inicial v₀=0.3, φ=90º o bien, v_x0=0, v_y0=0.3

Velocidad angular: ω=qB/m=1.0

Velocidad deriva v_d=E/B=0.0

Carga positiva

Movimiento rectilíneo

Si v_0y=0, y v_0x=v_d=E/B

x=x₀+v_d·t
y=y₀

La partícula se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante igual al cociente entre la intensidad del campo eléctrico E y la intensidad del campo magnético B. Este es el fundamento de un selector de velocidades.

Ejemplo

Posición inicial de la partícula: y₀=0, x₀=-0.4

Velocidad inicial v₀=0.1, φ=0º o bien, v_x0=0.1, v_y0=0.0

Velocidad angular: ω=qB/m=1.0

Velocidad deriva v_d=E/B=0.1

Carga positiva

Cuando la partícula parte del reposo

v_0x=v_0y=0 desde el origen x₀=0, y₀=0

$x = \frac{v_{d}}{ω} (ω \cdot t -sin (ω \cdot t)) y = \frac{v_{d}}{ω} (1 - cos(ω ·t))$

Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide generada por un punto del borde de un disco de radio R=v_d/ω=E/(ωB) que rueda sin deslizar, girando alrededor de su eje con velocidad angular ω y cuyo centro se mueve con velocidad constante v=R·ω=E/B.

Ejemplo

Posición inicial de la partícula: y₀=0, x₀=-0.8

Velocidad inicial v₀=0.0

Velocidad angular: ω=qB/m=1.0

Velocidad deriva v_d=E/B=0.1

Carga positiva

La velocidad de deriva v_d no depende de la carga de las partículas, por lo que los electrones derivan en la misma dirección que los iones positivos. Pero el movimiento de giro ω de los electrones es opuesto al de las cargas positivas.

Obtener las trayectorias para una partícula de carga negativa y comprobar que son semejantes a las que describe una esfera que rueda sin deslizar sobre una plataforma giratoria

Actividades

Se introduce

La posición de partida x₀, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición inicial. La ordenada se ha fijado en y₀=0.
La velocidad angular de giro ω=qB/m , en el control de edición titulado V. angular
La velocidad inicial v₀ de la partícula en el control de edición titulado Velocidad inicial
La dirección φ del vector velocidad inicial v₀, actuando en la barra de desplazamiento titulada Dirección velocidad. Las componentes del vector velocidad son: v_0x=v₀·cosφ, v_0y=v₀·senφ.
La velocidad de deriva v_d=E/B en el control de edición titulado V. deriva.
La carga positiva o negativa, activando el botón de radio correspondiente

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la partícula cargada en el campo electromagnético.

Probar otros ejemplos:

Intensidad del campo magnético B=500 gauss=0.05 T
Intensidad del campo eléctrico E=20000 N/C
Partícula: protón, carga positiva, q=1.6·10^-19 C, m=1.67·10^-27 kg

La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva v_d valen, respectivamente,

$ω = \frac{q B}{m} = 4.79 \cdot 10^{6} rad/s v_{d} = \frac{E}{B} = 0.4 \cdot 10^{6} m/s$

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10^-6 s, introducimos en el control de edición titulado V. angular 4.79, y en el control titulado V. deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, y orientaciones del vector velocidad inicial.

Intensidad del campo magnético B=500 gauss=0.05 T
Intensidad del campo eléctrico E=20000 N/C
Partícula: electrón, carga negativa, q=1.6·10^-19 C, m=9.1·10^-31 kg

La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva v_d valen, respectivamente,

$ω = \frac{q B}{m} = 8791.2 \cdot 10^{6} rad/s v_{d} = \frac{E}{B} = 0.4 \cdot 10^{6} m/s$

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10^-6 s, introducimos en el control de edición titulado V. angular 8791.2, y en el control titulado V. deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo v₀=1000 m/s, y con distintas orientaciones del vector velocidad inicial.

CiclotronApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.