Movimiento de una esfera sobre un plano horizontal

En esta página, vamos a estudiar la trayectoria seguida por una bola esférica de masa m y radio R que se pone a rodar sobre una pista horizontal. La velocidad inicial V₀, del centro de masas y la velocidad angular de rotación ω₀ pueden tener cualquier valor y orientación en dicho plano.

Ecuaciones del movimiento

Descomponemos el movimiento de la bola en el plano, en dos movimientos.

A largo del eje X, el c.m. se mueve con velocidad V_x y la bola gira con velocidad angular ω_y alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.
A largo del eje Y, el c.m. se mueve con velocidad V_y y la bola gira con velocidad angular ω_x, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m

Calculamos las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal

v_x=V_x-ω_y·R
v_y=V_y+ω_x·R (1)

Las fuerzas sobre la bola son

El peso mg
La reacción del plano N=mg
La fuerza de rozamiento en el punto de contacto P, que se opone al la velocidad de dicho punto

$F_{r} = - μ m g \frac{v}{v} = - μ m g \frac{v_{x}}{v} i - μ m g \frac{v_{y}}{v} j v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$

Las dos primeras fuerzas no contribuyen al movimiento del cuerpo

La componente F_x se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación
La componente F_y se opone al movimiento de traslación del c.m. y al movimiento de rotación

Ecuación del movimiento de traslación del centro de masas

$\begin{array}{l} m \frac{d V_{x}}{d t} = - μ m g \frac{v_{x}}{v} \\ m \frac{d V_{y}}{d t} = - μ m g \frac{v_{y}}{v} \end{array}$

Ecuación de la dinámica de rotación

$\begin{array}{l} I_{c} \frac{d ω_{x}}{d t} = - μ m g \frac{v_{y}}{v} R \\ I_{c} \frac{d ω_{y}}{d t} = μ m g \frac{v_{x}}{v} R \end{array}$

Para una esfera la fórmula del momento de inercia es I_c=2mR²/5

$\begin{array}{l} R \frac{d ω_{x}}{d t} = - \frac{5}{2} μ g \frac{v_{y}}{v} \\ R \frac{d ω_{y}}{d t} = \frac{5}{2} μ g \frac{v_{x}}{v} \end{array}$

Trayectoria del centro de masas de la esfera

Derivando las ecuaciones (1) respecto del tiempo t

$\begin{array}{l} \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d V_{x}}{d t} - R \frac{d ω_{y}}{d t} \\ \frac{d v_{y}}{d t} = \frac{d V_{y}}{d t} + R \frac{d ω_{x}}{d t} \end{array}$

que se convierten en

$\begin{array}{l} \frac{d v_{x}}{d t} = - \frac{7}{2} μ g \frac{v_{x}}{v} \\ \frac{d v_{y}}{d t} = - \frac{7}{2} μ g \frac{v_{y}}{v} \end{array}$

La solución de esta ecuación diferencial es

v_y=c·v_x

donde c es una constante que determinaremos más adelante

La primera ecuación diferencial se escribe

$\frac{d v_{x}}{d t} = - \frac{7}{2} μ g \frac{1}{\sqrt{1 + c^{2}}}$

Como la aceleración a lo largo del eje X es constante, la velocidad v_x vale

$v_{x} = - \frac{7}{2} μ g \frac{1}{\sqrt{1 + c^{2}}} t + v_{0 x}$

donde v_0x es la componente X de la velocidad inicial del punto de contacto P.

La segunda ecuación diferencial se convierte en

$\frac{d v_{y}}{d t} = - \frac{7}{2} μ g \frac{c}{\sqrt{1 + c^{2}}}$

Como la aceleración a lo largo del eje Y es constante, la velocidad v_y vale

$v_{y} = - \frac{7}{2} μ g \frac{c}{\sqrt{1 + c^{2}}} t + v_{0 y}$

donde v_0y es la componente Y de la velocidad inicial del punto de contacto P.

Como v_y=c·v_x, la constante c vale

$c = \frac{v_{0 y}}{v_{0 x}}$

Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal son:

$\begin{array}{l} v_{x} = v_{0 x} (1 - \frac{7}{2} \frac{μ g}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t) \\ v_{y} = v_{0 y} (1 - \frac{7}{2} \frac{μ g}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t) \end{array}$

En el instante

$t = \frac{2}{7} \frac{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}}{μ g}$

las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (v_x, v_y) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.

Conocidas las expresiones de las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (v_x, v_y), calculamos las componentes de la velocidad de traslación del c.m.(V_x, V_y).

$\begin{array}{l} \frac{d V_{x}}{d t} = - μ g \frac{v_{0 x}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} \\ \frac{d V_{y}}{d t} = - μ g \frac{v_{0 y}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} \end{array}$

El movimiento de traslación del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acerados. La componentes de la velocidad del c.m. son

$\begin{array}{l} V_{x} = V_{0 x} - μ g \frac{v_{0 x}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t \\ V_{y} = V_{0 y} - μ g \frac{v_{0 y}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t \end{array}$

Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es

$\begin{array}{l} x = V_{0 x} t - \frac{1}{2} μ g \frac{v_{0 x}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t^{2} \\ y = V_{0 y} t - \frac{1}{2} μ g \frac{v_{0 y}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t^{2} \end{array}$

Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola son

$\begin{array}{l} R \frac{d ω_{x}}{d t} = - \frac{5}{2} μ g \frac{v_{0 y}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} \\ R \frac{d ω_{y}}{d t} = \frac{5}{2} μ g \frac{v_{0 x}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} \end{array}$

Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω_0x y ω_0y.

$\begin{array}{l} R ω_{x} = R ω_{0 x} - \frac{5}{2} μ g \frac{v_{0 y}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t \\ R ω_{y} = R ω_{0 y} + \frac{5}{2} μ g \frac{v_{0 x}}{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}} t \end{array}$

Las componentes la velocidad inicial del punto de contacto P valen (1)

v_0x=V_0x-ω_0y·R
v_0y=V_0y+ω_0x·R

Movimiento de rodar sin deslizar

En el instante

$t_{r} = \frac{2}{7} \frac{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}}{μ g}$

las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (v_x, v_y) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.

La velocidad del c.m. de la bola en este instante es

$\begin{array}{l} V_{r x} = \frac{5}{7} V_{0 x} + \frac{2}{7} R ω_{0 y} \\ V_{r y} = \frac{5}{7} V_{0 y} - \frac{2}{7} R ω_{0 x} \end{array}$

Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son

$\begin{array}{l} R ω_{r x} = \frac{2}{7} R ω_{0 x} - \frac{5}{7} V_{0 y} \\ R ω_{r y} = \frac{2}{7} R ω_{0 y} + \frac{5}{7} V_{0 x} \end{array}$

Ya que Rω_rx=-V_ry y Rω_ry=V_ry. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad de traslación del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0. La relación ente sus módulos es V=R·ω

La posición del c.m. de la bola en este instante es

$\begin{array}{l} x_{r} = \frac{2}{7} \frac{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}}{μ g} (\frac{6}{7} V_{0 x} + \frac{1}{7} R ω_{0 y}) \\ y_{r} = \frac{2}{7} \frac{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}}{μ g} (\frac{6}{7} V_{0 y} - \frac{1}{7} R ω_{0 x}) \end{array}$

El c.m. de la bola sigue un movimiento rectilíneo uniforme cuya dirección es la de la velocidad del c.m.V en dicho instante. La posición del c.m. de la bola en el instante t>t_r es

x=x_r+V_rx·(t-t_r)
y=y_r+V_ry·(t-t_r)

Ejemplo :

Velocidad inicial del c.m: V_0x=1.0, V_0y=1.0
Velocidad inicial angular de rotación: R·ω_0x=2.0, R·ω_0y=2.0
Coeficiente de rozamiento: μ=0.03

Velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal

v_0x=1.0-2.0=-1.0
v_0y=1.0+2.0=3.0

La velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal se hace cero en el instante

$t_{r} = \frac{2}{7} \frac{\sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}}}{μ g} t_{r} = \frac{2 \sqrt{10}}{7 \cdot 0.03 \cdot 9.8} = 3.07 s$

La posición del c.m. de la esfera para t<t_r es

$\begin{array}{l} x = 1.0 \cdot t - \frac{1}{2} 0.03 \cdot 9.8 \frac{- 1.0}{\sqrt{10}} t^{2} = t + 0.046 \cdot t^{2} \\ y = 1.0 \cdot t - \frac{1}{2} 0.03 \cdot 9.8 \frac{3.0}{\sqrt{10}} t^{2} = t - 0.139 t^{2} \end{array}$

La velocidad del c.m. de la esfera en función del tiempo es

$\begin{array}{l} V_{x} = 1.0 - 0.03 \cdot 9.8 \frac{- 1.0}{\sqrt{10}} t = 1.0 + 0.093 \cdot t \\ V_{y} = 1.0 - 0.03 \cdot 9.8 \frac{3.0}{\sqrt{10}} t = 1.0 - 0.279 \cdot t \end{array}$

La velocidad angular de rotación de la esfera en función del tiempo es

$\begin{array}{l} R ω_{x} = 2.0 - \frac{5}{2} 0.03 \cdot 9.8 \frac{3.0}{\sqrt{10}} t = 2.0 - 0.697 \cdot t \\ R ω_{y} = 2.0 + \frac{5}{2} 0.03 \cdot 9.8 \frac{- 1.0}{\sqrt{10}} t = 2.0 - 0.232 \cdot t \end{array}$

En el instante t_r=3.07 la velocidad del punto P se hace cero, y la esfera rueda sin deslizar

La posición del c.m. de la esfera es

x=3.51, y=1.76

La velocidad del c.m. de la esfera es

V_x=1.286, V_y=0.143

La velocidad angular de rotación es

R·ω_x=-0.143, R·ω_y=1.286

Comprobación

La velocidad del punto P es cero

v_x=1.286-1.286=0
v_y=0.143+(-0.143)=0

El vector velocidad angular ω y el vector V son perpendiculares. El producto escalar

V·ωR=(1.286i+0.143j)·(-0.143i+1.286j)=1.286·(-0.143)+0.143·1.286=0

La relación entre módulos es V=ω·R

A partir del instante t=3.07, el c.m. de la esfera sigue un movimiento rectilíneo con velocidad constante V, la velocidad angular de rotación ω permanece constante. la posición del centro de la esfera en función del tiempo es

x=3.51+1.286 (t-3.07)
y=1.76+0.143 (t-3.07)

Balance energético

La energía inicial es

$E_{i} = \frac{1}{2} m ({1.0}^{2} + {1.0}^{2}) + \frac{1}{2} \frac{2}{5} m (2^{2} + 2^{2}) = (1 + 0.8) m = 1.8 m$

La energía final es

$E_{f} = \frac{1}{2} m ({1.286}^{2} + {0.143}^{2}) + \frac{1}{2} \frac{2}{5} m ({0.143}^{2} + {1.286}^{2}) = (0.837 + 0.335) m = 1.171 \cdot m$

Se ha perdido a causa del rozamiento E_f-E_i=-0.629·m

Disminuye un poco la energía cinética de traslación en comparación con la energía cinética de rotación.

Actividades

Se introduce

Las componentes de la velocidad de traslación del c.m., en los controles de edición titulados V_x y V_y, valores positivos.
Las componentes de la velocidad angular de rotación, en los controles de edición titulados R·ω_x y Rω_y, valores positivos o negativos. R es el radio de la esfera.
El coeficiente de rozamiento μ, en el control de edición titulado Coef. rozamiento

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la trayectoria del c.m. de la esfera.

Se dibujan los vectores

Velocidad de traslación del c.m. V, en color azul
Velocidad angular de rotación, ω·R, en color rojo
Velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal v, en color negro

La velocidad del punto P va disminuyendo hasta que se hace cero, en el instante t_r.

Los vectores velocidad angular de rotación ωR, y velocidad de traslación del c.m. V, van cambiando de módulo y dirección hasta que sus direcciones se hacen perpendiculares y sus módulos se igualan.

La dirección del vector V es tangente a la trayectoria.

A partir del instante t_r, el c.m. sigue una trayectoria rectilínea, los vectores V, y ωR no cambian de módulo ni de dirección.

En la parte superior derecha del applet, observamos los cambios energéticos:

En color rojo, la energía cinética de rotación
En color azul, la energía cinética de traslación del c.m.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Hopkins D. C., Patterson J. D. Bowling frames: Paths of a bowling ball. Am. J. Phys. 45 (3) March 1977, pp. 263-266