Movimiento de rodar en un plano inclinado

Movimiento de rodar en un plano inclinado. Laboratorio de Física. E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo)

Estudiamos en esta página el movimiento de un cuerpo (cilindro, aro o esfera) a lo largo de un plano inclinado. Este ejemplo, nos permite mostrar en otro contexto el papel que juega la fuerza de rozamiento.

Las principales dificultades asociadas al papel de la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar se refieren a:

Es necesaria la existencia de una fuerza de rozamiento para que el cuerpo ruede sin deslizar, pero dicha fuerza no realiza un trabajo neto, por lo que la energía mecánica se conserva.
En el caso en el que exista un movimiento de rodar con deslizamiento, la naturaleza de la fuerza de rozamiento cambia de estática a cinética y realiza un trabajo que se transforma en una disminución de la energía final del cuerpo.

Movimiento de rodar sin deslizar

Ecuaciones de la dinámica

Examinaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

el peso
la reacción del plano inclinado
la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la rueda y el plano.

Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son la siguientes:

Movimiento de traslación del c.m.

mg·sinθ -F_r=ma_c

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

F_rR=I_cα

Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar)

a_c=α R

Si conocemos el ángulo de inclinación θ y el momento de inercia I_c del cuerpo que rueda, calculamos a_c y el valor de la fuerza de rozamiento F_r.

Cuerpo	Momento de inercia
Esfera	$\frac{2}{5} m R^{2}$
Aro	mR²
Cilindro	$\frac{1}{2} m R^{2}$

Expresamos el momento de inercia I_c=k·mR² donde k es un factor geométrico 2/5 para la esfera, 1/2 para el cilindro y 1 para el aro.

$a_{c} = \frac{g \cdot sin θ}{1 + k} F_{r} = k \frac{m g \cdot sin θ}{1 + k}$

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

$x = \frac{1}{2} a_{C} t^{2} v_{C} = a_{C} t$

La velocidad final v_c del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es

$v_{c}^{2} = 2 a_{c} x = \frac{2 g sin θ}{1 + k} x = \frac{2 g h}{1 + k}$

Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·senθ

Balance de energía

Energía cinética en el movimiento de rodar

La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

$E_{k} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2}$

Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación

W=W_t+W_r

El trabajo en el movimiento de traslación es

W_t=(mgsinθ -F_r)x=mgh-F_rx

El trabajo en el movimiento de rotación es

W_r=Mø =F_rRø =F_rx

El trabajo total es

W=mgh

Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía.

El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)

$m g h = \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + \frac{1}{2} I_{C} ω^{2}$

La velocidad final v_c del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.

$m g h = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} k m R^{2} \frac{v_{c}^{2}}{R^{2}} v_{c}^{2} = \frac{2 g h}{1 + k}$

El cuadrado de la velocidad del c.m. v_c es proporcional a la altura inicial h. Podremos comprobar esta relación en el applet al final de esta página.

Movimiento de rodar con deslizamiento

Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento F_r es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar

$F_{r} = k \frac{m g \sin θ}{1 + k}$

Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que F_r≤ µ_s·N

Donde µ_s es el coeficiente de rozamiento estático que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el carril, y N la reacción del plano inclinado N=mg·cosθ .

El cuerpo rueda por el plano inclinado sin deslizar hasta un determinado ángulo límite, aquél en el que se cumple que

$μ_{s} \geq \frac{k \tan θ}{1 + k}$

Ecuaciones de la dinámica

Si no se cumple esta condición el cuerpo rueda y desliza, la fuerza de rozamiento toma el valor f=µ_k·N. Donde µ_k es el coeficiente de rozamiento dinámico.

Las ecuaciones del movimiento del centro de masa del cuerpo son ahora:

Movimiento de traslación del c.m.

mg·sinθ -µ_k·mg·cosθ =ma_c.

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

µ_k·mg·cosθ ·R=I_c·α

Despejamos a_c y α

$a_{c} = g (\sin θ - μ_{k} \cos θ) α = \frac{g μ_{k} \cos θ}{k \cdot R}$

Se deja de cumplir la condición de rodar sin deslizar a_c=α R.

La velocidad final v_c del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado después de haber recorrido una distancia x, o haber descendido una altura h.

$v_{c}^{2} = 2 a_{c} x = 2 g h (1 - μ_{k} \cot θ)$

La velocidad angular ω del cuerpo después de haber girado un ángulo ø es

$ω^{2} = 2 α φ = \frac{2 g μ_{k} \cos θ}{k \cdot R} φ$

Balance energético

La energía inicial del cuerpo es la energía potencial mgh

La energía final del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del c.m., más la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

$\frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} = \frac{1}{2} m (v_{c}^{2} + k R^{2} ω^{2})$

Trabajo W_r de la fuerza de rozamiento f=µ_k·mg·cosθ

En el movimiento de traslación

- f·x

En el movimiento de rotación

f·R·ø

El trabajo total es

$\begin{array}{l} W_{r} = - μ_{k} \cdot m g \cos θ (x - R ϕ) = - μ_{k} \cdot m g \cos θ (x - R \frac{ω^{2}}{2 α}) = \\ - μ_{k} \cdot m g \cos θ \frac{h}{sen θ} + \frac{1}{2} m k R^{2} ω^{2} \end{array}$

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía del cuerpo, y es igual a la diferencia entre la energía final e inicial del cuerpo, W_r=E_f-E_i

$\begin{array}{l} - μ_{k} \cdot m g \cos θ \frac{h}{sen θ} + \frac{1}{2} m k R^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} m (v_{c}^{2} + k R^{2} ω^{2}) - m g h \\ v_{c}^{2} = 2 g h (1 - μ_{k} \cot θ) \end{array}$

Se anula el trabajo de la fuerza de rozamiento correspondiente al movimiento de rotación f·R·ø con la energía cinética de rotación. Obtenemos la misma expresión para la velocidad del c.m. v_c que la deducida a partir de las ecuaciones de la dinámica.

Velocidad final del c.m. del cuerpo en función de la altura h

Si el ángulo del plano inclinado θ≤θ_c el cuerpo rueda sin deslizar

La velocidad final v_c que alcanza el cuerpo en función de su altura inicial h es

$v_{c}^{2} = \frac{2 g}{1 + k} h$

El cuadrado de la velocidad del c.m. es proporcional a la altura h

Si el ángulo del plano inclinado θ>θ_c el cuerpo rueda y desliza

$v_{c}^{2} = 2 g h (1 - μ_{k} \cot θ) = 2 g h (1 - μ_{k} \sqrt{\frac{x^{2}}{h^{2}} - 1})$

siendo x la distancia fija que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado

El ángulo crítico se calcula mediante la fórmula

$\tan θ_{c} = \frac{μ_{s} (1 + k)}{k}$

Ejemplo:

El cuerpo es un cilindro k=0.5
El coeficiente μ= μ_s= μ_k=0.15
Distancia que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado x=1 m

El ángulo crítico θ_c =24.2º

En la figura, se representa en el eje horizontal las alturas h de partida del cuerpo h=x·senθ. En el eje vertical, los cuadrados de la velocidad del c.m. del cuerpo.

La recta de color rojo, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda sin deslizar, el ángulo del plano inclinado θ≤θ_c
La curva de color azul, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda y desliza, el ángulo del plano inclinado θ>θ_c

Actividades

Se introduce

El cuerpo que va a moverse sobre el plano inclinado, un aro, un cilindro o una esfera de la misma masa y radio, en el control selección titulado Cuerpo
El valor del coeficiente de rozamiento, en el control de edición Coef. rozamiento.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

El ángulo de inclinación, en el control de edición Ángulo.
La distancia que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado se mantiene fija x=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Cuando el cuerpo llega al final del plano inclinado, se guarda la velocidad final del cuerpo y la altura inicial sobre la base del plano inclinado, en el control área de texto situado a la izquierda del applet,

Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se representa los resultados experimentales:

En el eje vertical el cuadrado de la velocidad final del c.m. del cuerpo
En el eje horizontal la altura inicial del cuerpo

Podemos observar en la gráfica que cuando el cuerpo rueda sin deslizar, los puntos (altura inicial, cuadrado de la velocidad del c.m.) se ajustan a una línea recta. Cuando el cuerpo baja deslizando, dichos puntos se desvían de la recta.

En la parte derecha del applet, se representa en un diagrama en forma de tarta la energía potencial, la energía cinética de rotación y la energía cinética de traslación del c.m.

Cuando el cuerpo baja rodando sin deslizar la energía potencial va disminuyendo y se va incrementando la energía cinética (de rotación y traslación en distintas proporciones dependiendo del momento de inercia del cuerpo).
Cuando el cuerpo baja rodando a la vez que desliza, una parte de la energía potencial se transforma en trabajo de la fuerza de rozamiento.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Basta, Di Gennaro, Piccciarelli. A desktop apparatus for studying rolling motion. Phys. Educ. 34 (6) November 1999, pp. 371-375

Carvalho P. S., Sampaio e Sousa A. An inexpensive technique to measure coefficients of friction with rolling solids. The Physcis Teacher, Vol 43, November 2005, pp. 548-550