Movimiento de un carrete que rueda

rodar6.gif (2170 bytes) En esta página, continuamos con la discusión del movimiento de rodar bajo la acción de una fuerza aplicada F. La diferencia con los ejemplos previos es que la fuerza F no es paralela a la superficie a lo largo de la cual rueda el cuerpo, sino que forma cierto ángulo

Este ejemplo es especialmente útil para clarificar ciertas cuestiones de mecánica de los cuerpos rígidos que se ponen de manifiesto cuando hacemos la siguiente demostración de aula. Enrollamos un hilo a un carrete y tiramos de su extremo con una fuerza F tal como indica la figura. Preguntamos a los estudiantes. ¿En qué dirección se moverá el carrete, hacia la izquierda o hacia la derecha?.

Fuerza sobre un carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo θ con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosθ .

Las ecuaciones del movimiento son ahora.

Dinámica de la traslación del c.m.

F·cosθ -F_r=m·a_c

Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

-F·r+F_r·R=I_c·α

Además de la condición de rodar (sin deslizar) a_c=α ·R

Resolviendo las ecuaciones despejamos las incógnitas a_c y F_r.

$a {}_{c}= \frac{F}{m k} (\cos θ - \frac{r}{R}) k = 1 + \frac{I_{c}}{m R^{2}}$

La fuerza de rozamiento F_r vale

F_r=Fcosθ-ma_c

La fuerza de rozamiento F_r se anula para un valor del ángulo θ_r tal que

$\cos θ = - \frac{r}{R} \frac{1}{k - 1}$

El carrete rueda sin fricción independientemente del valor de la fuerza F aplicada, siempre que no supere un valor máximo que se calculará más abajo.

Se producen tres casos

rodar5.gif (2387 bytes)

Equilibrio

Cuando se cumple que cosθ =r/R. La aceleración del c. m. es cero.

Como podemos ver en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P.

El ángulo θ_c tal que cosθ_c=r/R, se denomina ángulo crítico

Se mueve hacia la derecha

Cuando cosθ >r/R, o bien cuando θ <θ_c, la aceleración a_c es positiva y el carrete se mueve hacia la derecha.

Se mueve hacia la izquierda

Cuando cosθ <r/R, o bien cuando θ >θ_c, la aceleración a_c es negativa y el carrete se mueve hacia la izquierda.

Condición de rodar sin deslizar

Para cada ángulo θ, hay un límite de la fuerza F que se puede aplicar para que el carrete ruede sin deslizar. Esto ocurre cuando la fuerza de rozamiento F_r alcanza su máximo valor F_r=μ·N= μ(mg-F·sinθ)

Conocida la fuerza de rozamiento F_r, calculamos la fuerza máxima F que podemos aplicar y la aceleración máxima a_c.

μ(mg-F·sinθ)=F·cosθ-ma_c

Sustituyendo a_c por su valor y despejando F

$F = \frac{μ m g}{\cos θ + μ sin θ + \frac{1}{k} (\frac{r}{R} - \cos θ)}$

Podemos comprobar que para el ángulo θ=θ_r se cumple que la fuerza máxima que podemos aplicar es F=mg/senθ, y por tanto, la normal N vale cero, el carrete deja de tener contacto con el plano horizontal.

Carrete de forma cilíndrica

Si el carrete es un cilindro de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia es I_c=mR²/2.entonces k=3/2

$a_{c} = \frac{2 F}{3 m} (\cos θ - \frac{r}{R}) F_{r} = \frac{F}{3} (\cos θ + 2 \frac{r}{R})$

La fuerza de rozamiento F_r se anula para un valor del ángulo θ_r tal que

$\cos θ = - \frac{2 r}{R}$

Resumiendo, el carrete tiene una aceleración a_c que es positiva si θ <θ_c y es negativa si θ >θ_c. El carrete rueda sin deslizar siempre que la fuerza aplicada F no supere un valor máximo que depende del ángulo y del coeficiente estático de rozamiento.

Para θ =θ_c el carrete desliza independientemente del valor del coeficiente de rozamiento estático.
Para θ =θ_r el carrete rueda sin deslizar, independientemente de que lo pequeño que sea el coeficiente estático de rozamiento.

Ejemplo:

Sea r/R=0.5, el ángulo crítico θ_c=60º, de modo que si

Si θ =60º el carrete no se mueve
Si θ <60º el carrete se mueve hacia la derecha. Por ejemplo si θ =30º,

a_c=3.66 m/s²

F_r=6.83 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

Si θ >60º el carrete se mueve hacia la izquierda. Por ejemplo si θ =70º,

a_c=-1.58 m/s²

F_r=6.71 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

Actividades

Se introduce

El valor de la fuerza aplicada F, en el control de edición titulado Fuerza
La dirección de dicha fuerza, el ángulo θ , que forma con la horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo
La relación entre el radio del tambor r en el que está enrollada la cuerda y el radio del carrete R, en el control de edición titulado Cociente radios.
La masa está fijada en el programa interactivo m=1 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza

En este applet solamente se estudia el movimiento de rodar sin deslizar de un carrete de forma cilíndrica. Se supondrá que la fuerza F aplicada se mantiene siempre por debajo de la fuerza máxima para todos los ángulos comprendidos entre 0 y 180º.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.