Péndulo compuesto no homogéneo

Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M₀ y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es

$P_{0} = 2 π \sqrt{\frac{I_{0}}{M_{0} g y_{0}}}$

Siendo I₀=M₀L²/3 el momento de inercia y y₀=L/2 la posición del centro de masa

$P_{0} = 2 π \sqrt{\frac{2 L}{3 g}}$

Supongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es

$P = 2 π \sqrt{\frac{I_{0} + I_{m}}{(M_{0} + m) g y}}$

Donde I_m es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.

$\begin{array}{l} y = \frac{M_{0} (L / 2) + m (L - h / 2)}{M_{0} + m} \\ I_{m} = \frac{1}{12} m h^{2} + m {(L - \frac{h}{2})}^{2} \end{array}$

El periodo P vale

$P = 2 π \sqrt{\frac{M_{0} \frac{L^{2}}{3} + m L^{2} - m L h + m \frac{h^{2}}{3}}{g (M_{0} \frac{L}{2} + m L - m \frac{h}{2})}}$

Sea M la masa de la sustancia que rellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura h, m=M·h/L. El periodo P se expresa

$P = 2 π \sqrt{\frac{2 L}{3 g}} \sqrt{\frac{1 + 3 \frac{M}{M_{0}} (\frac{h}{L}) - 3 \frac{M}{M_{0}} {(\frac{h}{L})}^{2} + \frac{M}{M_{0}} {(\frac{h}{L})}^{3}}{1 + 2 \frac{M}{M_{0}} (\frac{h}{L}) - \frac{M}{M_{0}} {(\frac{h}{L})}^{2}}}$

El periodo P es función de los cocientes R=M/M₀ y x=h/L

$P = 2 π \sqrt{\frac{2 L}{3 g}} \sqrt{\frac{1 + 3 R x - 3 R x^{2} + R x^{3}}{1 + 2 R x - R x^{2}}}$

El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0

Resultando la ecuación

R²x⁴-4R²x³+3R²x²-3Rx²+4Rx-R=0

Que se puede resolver empleando procedimientos numéricos

Actividades

Se introduce

El cociente R=M/M₀ en el control de edición titulado Cociente
La altura x=h/L de sustancia en el tubo hueco, actuando en la barra de desplazamiento.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se mide el periodo de 3 oscilaciones del péndulo compuesto, mediante el cronómetro dispuesto al efecto. El botón titulado En marcha pone en marcha el cronómetro y el mismo botón titulado Parar, detiene el cronómetro. El tiempo medido se guarda en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Se cambia la altura x=h/L sin modificar el cociente R=M/M₀, y se mide el periodo de 3 oscilaciones del péndulo compuesto con el cronómetro.

Se repite hasta un máximo de 10 medidas con el mismo valor del cociente R=M/M₀

Una vez que se han realizado las medidas, se pula el botón titulado Gráfica.

Se representa en el eje vertical el periodo, y en el eje horizontal x=h/L, se observa que el periodo aumenta con x y luego disminuye, para un valor dado de x el periodo presenta un máximo que se señala en la curva.

Se cambia el valor del cociente R=M/M₀, y se pulsa el botón titulado Nuevo, y se repite la secuencia de medidas del periodo para distintos valores de x.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Kettler J. E. A variable mass physical pendulum, Am. J. Phys. 63 (11) November 1995, pp. 1049-1051