Péndulo compuesto

La medida de la aceleración de la gravedad g mediante el péndulo compuesto es una práctica habitual en el laboratorio de Física. En esta página, se explica y se simula esta experiencia, y se proporciona un programa interactivo que permite calcular la aceleración de la gravedad y el momento de inercia de la varilla aplicando el procedimiento de los mínimos cuadrados.

El péndulo de Kater. Laboratorio de Física. E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo).

Descripción

El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

I_O·α=-mgxsinθ

Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.

I_O es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m g x}{I_{O}} \sin θ = 0$

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes sinθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m g x}{I_{O}} θ = 0$

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

$ω^{2} = \frac{m g x}{I_{O}} P = 2 π \sqrt{\frac{I_{O}}{m g x}}$

Por el teorema de Steiner

I_O=I_C+mx²=mR²+mx²

R se denomina radio de giro, para una varilla R²=l²/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

$P = 2 π \sqrt{\frac{R^{2} + x^{2}}{g x}}$

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

$\frac{d P^{2}}{d x} = 4 π^{2} \frac{2 g x^{2} - (R^{2} + x^{2}) g}{g^{2} x^{2}} = 0 x_{m} = R P_{m} = 2 π \sqrt{\frac{2 R}{g}}$

Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.

Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado

$x^{2} + \frac{P^{2} g}{4 π^{2}} x + R^{2} = 0$

La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x₁ y x₂ de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

$x_{1} + x_{2} = \frac{P^{2} g}{4 π^{2}} x_{1} x_{2} = R^{2}$

Midiendo en la gráfica x₁ y x₂ para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo I_c=mR² compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R² mediante el producto de x₁ por x₂.

Ejemplo

Se ha realizado una experiencia con una varilla de l=1 m de longitud con agujeros cada 5 cm. En la figura vemos la representación del periodo P en función de x, y los datos experimentales (puntos de color rojo).

Vemos que para un periodo P=1.6 s, x₁=0.182 m y x₂=0.457 m. De la primera ecuación, despejamos g=9.85 m/s², y de la segunda calculamos R²=0.08≈1/12 m²

Actividades

Se mide el periodo de cinco oscilaciones para cada una de las posiciones del centro de oscilación.

El péndulo compuesto es una varilla de longitud l=1 m en la que se han hecho agujeros equidistantes 5 cm. El péndulo aparece oscilando en el primer agujero. Se mide el periodo de cinco oscilaciones poniendo en marcha el cronómetro, pulsando el botón titulado En marcha. Cuando se hayan completado las cinco oscilaciones se pulsa el mismo botón que ahora se titula Parar.

La medida del tiempo se guarda en el área de texto situada en la parte izquierda del applet.

Se pulsa el botón titulado Siguiente, para realizar la medida del periodo de cinco oscilaciones con el segundo agujero y así sucesivamente, hasta completar todas las medidas.

Se pulsa el botón titulado Gráfica. Aparece representada la curva P en función de x, y varios puntos en color rojo que son los datos "experimentales". La representación de las medidas efectuadas se situará sobre la curva si están realizadas con cuidado.

Situamos el puntero del ratón sobre la flecha roja situada a la derecha del applet. Se pulsa el botón izquierdo y se mantiene pulsado para mover la recta horizontal. Situamos la recta horizontal en aquél intervalo en el que interseca dos veces a la curva, obteniéndose dos valores de b, que se miden en el eje de las abscisas.

A partir de x₁ y x₂ para un valor dado de P, se pide hallar el valor de la aceleración de la gravedad, g=9.8 m/s² y el radio de giro de la varilla R²=1/12.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.