Péndulo compuesto

Procedimiento de mínimos cuadrados

Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto

$P^{2} = \frac{4 π^{2} R^{2}}{g} x^{- 1} + \frac{4 π^{2}}{g} x$

o bien, la función y=a/x+bx, con y=P²

Dada una tabla de valores x_i y periodos y_i se trata de calcular los valores de los coeficientes a y de b que mejor ajustan a los datos experimentales. El procedimiento aplicado es similar a la regresión lineal

Medimos el periodo P_i de péndulo para cada posición x_i, completando una tabla con N pares de datos

Si (x_i, y_i) son las coordenadas de un dato experimental, a la abscisa x_i le correspondería la ordenada y=a/x_i+bx_i. La diferencia es

$d_{i} = y_{i} - \frac{a}{x_{i}} - b x_{i}$

Calcularemos los valores de los parámetros a y b que hacen que la suma

$S (a, b) = \sum_{0}^{N - 1} d_{i}^{2} = \sum_{0}^{N - 1} {(y_{i} - \frac{a}{x_{i}} - b x_{i})}^{2}$

sea mínima.

$\begin{array}{l} \frac{\partial S}{\partial a} = 0 \sum_{0}^{N - 1} 2 (y_{i} - \frac{a}{x_{i}} - b x_{i}) (- \frac{1}{x_{i}}) = 0 \\ (\sum_{0}^{N - 1} \frac{1}{x_{i}^{2}}) a + N b = \sum_{0}^{N - 1} \frac{y_{i}}{x_{i}} \\ \frac{\partial S}{\partial b} = 0 \sum_{0}^{N - 1} 2 (y_{i} - \frac{a}{x_{i}} - b x_{i}) (- x_{i}) = 0 \\ N a + (\sum_{0}^{N - 1} x_{i}^{2}) b = \sum_{0}^{N - 1} x_{i} y_{i} \end{array}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para determinar los coeficientes a y b.

$\begin{array}{l} b = \frac{N (\sum_{0}^{N - 1} \frac{y_{i}}{x_{i}}) - (\sum_{0}^{N - 1} \frac{1}{x_{i}^{2}}) (\sum_{0}^{N - 1} x_{i} y_{i})}{N^{2} - (\sum_{0}^{N - 1} x_{i}^{2}) (\sum_{0}^{N - 1} \frac{1}{x_{i}^{2}})} \\ a = \frac{(\sum_{0}^{N - 1} x_{i} y_{i}) - (\sum_{0}^{N - 1} x_{i}^{2}) b}{N} \end{array}$

Ejemplo

Datos tomados del programa interactivo

x (cm)	P (s)
5	2.620
10	1.936
15	1.668
20	1.568
25	1.520
30	1.512
35	1.536
40	1.576
45	1.600

Para una varilla de longitud l=1 m, el radio de giro vale R²=1/12, Los coeficientes a y b

$a = \frac{4 π^{2} R^{2}}{g} = 0.336 {m/s}^{2} b = \frac{4 π^{2}}{g} = 4.028 s^{2} /m$

Los valores experimentales que nos proporciona le programa interactivo son

a=0.333 m/s², b=4.025 s²/m

Actividades

Se introduce

En los controles de edición de la columna de la izquierda, los datos de las posiciones x_ien m
En los controles de edición de la columna de la derecha, los datos de los periodos P_i en segundos

Se pulsa el botón titulado Calcular

Para borrar los datos e introducir otros nuevos, se pulsa el botón titulado Borrar

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