Medida de la constante de Boltzmann
En esta página, se describe un experimento que consiste en la observación con el microscopio de la distribución de equilibrio de las partículas en una suspensión coloidal. Midiendo la concentración de partículas con la altura se obtiene la constante de Boltzmann o el número de Avogadro.
Si un conjunto de partículas cada una de volumen V y densidad ρs está suspendida en un líquido de densidad ρl. En el equilibrio, el número de partículas por unidad de volumen cambiará con la altura x de la forma
n0 es la concentración de partículas en el fondo del recipiente, n(x) es la concentración a una altura x por encima del fondo, T es la temperatura absoluta, y k es la constante de Boltzmann.
La deducción de esta fórmula es idéntica a la de la variación de la presión con la altura en una atmósfera isoterma.
Einstein en 1905, sugirió que esta distribución exponencial se podría observar con partículas idénticas de muy pequeño tamaño y que a partir de la medida de la variación de la densidad n(x), se podría determinar la constante k. Jean Perrin realizó por primera vez este experimento en 1908.
En el experimento descrito en el artículo citado en las referencias, se emplean esferas de poliestireno de 1.011 µm de diámetro y de densidad ρs=1.053 g/cm3
Las esferas se suspenden en agua pura ρl=1.0 g/cm3o en una solución de agua y glicerol cuya densidad es ligeramente superior a la del agua, y cuyo efecto es la de expandir la distribución exponencial tal como se muestra en la figura.
Actividades
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El programa interactivo genera un número aleatorio próximo a la unidad que representa la densidad del líquido ρl en g/cm3 en el que se suspenden las partículas
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La densidad de las esferas se ha fijado en ρs=1.053 g/cm3
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El diámetro 2r de las esferas se ha fijado en 1.011·10-6 m, el volumen de una esfera de radio r es V=4πr3/3
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La temperatura ambiente se ha fijado en T=295 K
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se representa la distribución de partículas (puntos de color rojo) con la altura x medida en µm=10-6 m
Actuamos sobre la flecha derecha de la barra de desplazamiento, para contar el número de partículas en los intervalos especificados.
Los intervalos aparecen ampliados en la parte derecha del applet, simulando que se observan con el microscopio.
Contamos el número de partículas que hay en el intervalo 0-5 µm y se lo asignamos a la altura x=2.5 µm, (en el primer control de edición de la parte izquierda del applet)
Actuamos en la flecha derecha de la barra de desplazamiento titulado Intervalos
Contamos el número de partículas que hay en el intervalo 5-10 µm y se lo asignamos a la altura x=7.5 µm, (en el segundo control de edición de la parte izquierda del applet)
Continuamos el proceso hasta completar 10 intervalos.
Para evitar el proceso tedioso de contar las partículas, el programa interactivo lo hace por nosotros, y nos proporciona este dato.
Cuando tengamos todos los datos en los controles de edición de la columna derecha titulada n, se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa
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En el eje horizontal, la altura x en µm
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En el eje vertical, el logaritmo neperiano del número de partículas, ln(n)
Se representan los datos “experimentales” mediante puntos de color rojo, y la recta que mejor ajusta en color azul. El programa interactivo calcula la pendiente de la recta a partir de la cual podemos determinar la constante de Boltzmann k.
Ejemplo:
La densidad del líquido es ρl=1.024 g/cm3=1024 kg/m3
La pendiente de la recta en la gráfica es -0.0394. Como el eje horizontal está en µm, la pendiente es -0.0394·106 m-1
k=1.32·10-23 J/K
El valor que aparece en las tablas de las constantes es k=1.38·10-23 J/K
Referencias
Horne M., Farago P., Oliver J., An experiment to measure Boltzmann's constant. Am. J. Phys. 41, March 1975, pp. 344-348