Modelos simples de atmósfera

Como una aplicación de la ley de distribución de Boltzmann, vamos a calcular la variación de la presión del aire en función de la elevación y por encima del nivel del mar. Para simplificar el problema, suponemos que la temperatura se mantiene constante con la altitud. Despreciaremos la pequeña variación de la intensidad del campo gravitatorio g con la altura, siempre que consideremos la porción de atmósfera más cercana a la superficie de la Tierra. Supondremos finalmente, que el aire es un gas ideal que está formado por un solo componente, el más abundante, el nitrógeno.

Vamos a comprobar que la distribución de las moléculas con la altura sigue una ley exponencialmente decreciente, justamente la ley de Boltzmann.

Un comportamiento similar se produce cuando pequeñas partículas están suspendidas en el seno de un fluido. Perrin las observó en 1909 con un microscopio y comprobó que la distribución de la densidad de dichas partículas seguía una ley exponencial, a partir de la cual obtuvo un valor preciso de la constante k de Boltzmann.

Atmósfera isoterma

presion.gif (1908 bytes) Examinemos las fuerzas sobre un pequeño volumen sección A y de espesor Δy comprendido entre las alturas y e y+Δy. La fuerza de la gravedad sobre esta porción de la atmósfera es

F_y=-mg(n·A·Δy)

Donde m es la masa de una molécula y n es el número de moléculas por unidad de volumen, que es una función de la altura y, que vamos a determinar.

La fuerza F_y es compensada por la diferencia de presión en las altitudes y e y+Δy, tal como se ve en la figura.

$(p (y + Δ y) - p (y)) A = - m g (n \cdot A \cdot Δ y)$

o bien,

$\frac{p (y + Δ y) - p (y)}{Δ y} = - n m g$

En el límite cuando Δy tiende a cero, obtenemos la derivada de la presión

$\frac{d p}{d y} = - n m g$

Si consideramos la atmósfera como un gas ideal, se cumple que pV=NkT, o bien p=nkT.

El número de moléculas es igual al número de Avogadro por el número de moles, N=N_A·n
El número de Avogadro por la constante k de Boltzmann nos da la constante R=kN_A de los gases, N_A=6.0225·10²³ moléculas/mol, k=1.3805·10^-23 J/K, R=8.3143 J/(K·mol)

$\frac{d n}{d y} = - n \frac{m g}{k T}$

Integrando esta ecuación, obtenemos

$n = n_{0} \exp (\frac{- m g y}{k T})$

donde n₀ es el número de moléculas por unidad de volumen a nivel del mar.

El número de moléculas por unidad de volumen decrece exponencialmente con la altura. Es importante destacar que el numerador en la función exponencial mgy representa la energía potencial de las moléculas individuales con respecto al nivel del mar. Por tanto, la distribución de moléculas con la altura sigue la ley de Boltzmann.

Como la ecuación de los gases ideales es p=nkT. La presión también disminuye exponencialmente con la altura

$p = p_{0} \exp (\frac{- m g y}{k T})$

donde p₀ es la presión al nivel del mar, una atmósfera.

Para el nitrógeno N₂ a la temperatura de 300 K

$\frac{m g}{k} = \frac{28 \cdot 1.66 \cdot 10^{- 27} \cdot 9.8}{1.38 \cdot 10^{- 23}} = 0.033$

Actividades

Se introduce

El valor de la temperatura absoluta, en el control de edición titulado Temperatura,

Se pulsa el botón titulado Gráfica.

En la columna situada a la izquierda del applet se observa una imagen de la distribución de las moléculas con la altura. En la parte derecha, se observa la disminución de la presión p/p₀ con la altura. La disposición de la gráfica es algo inusual, ya que los ejes están girados, en el eje vertical se representa la altura sobre el nivel del mar (variable independiente), y el eje horizontal la presión (variable dependiente).

La atmósfera lineal

La suposición de que la temperatura de la atmósfera es la misma para cualquier altura no es correcta. En el avión nos informan que la temperatura exterior es muy baja cuando el avión vuela a gran altura. La temperatura en general no varía linealmente con la altura, sino de forma más compleja dependiendo de la capa atmosférica. Por ejemplo, en la troposfera que es una capa que se extiende desde 12 km a 16 km de altura es de aproximadamente -6.5 ºC/km.

Supongamos que la variación de la temperatura con la altura es de la forma

T=T₀-ay

donde T₀ es la temperatura a nivel del suelo y a es el gradiente de temperatura. Por ejemplo -6.5 ºC/km.

Partimos de la expresión

$\frac{d n}{d y} = - n \frac{m g}{k T} \frac{d n}{d y} = - n \frac{m g}{k (T_{0} - a y)}$

Integrando

$\begin{array}{l} \int_{n_{0}}^{n} \frac{d n}{n} = - \frac{m g}{k} \int_{0}^{y} \frac{d y}{(T_{0} - a y)} \ln (\frac{n}{n_{0}}) = \frac{m g}{k a} \ln (\frac{T_{0} - a y}{T_{0}}) \\ n = n_{0} {(1 - \frac{a}{T_{0}} y)}^{m g / (k a)} \end{array}$

En la figura, se compara la variación de la presión p/p₀ con la altura y, en el caso de una atmósfera isoterma (color rojo) y a variación de la presión con la altura para una atmósfera lineal (color azul)

Referencias

Silverman M. P. Flying high, thinking low?. What every aeronaut needs to know. The Physics Teacher, Vol. 36, May 1998, pp. 288-293