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Difusión bidimensional. Gota de tinta

Una gota de tinta de radio a se pone en un recipiente de agua de radio R, siendo a<<R. La profundidad del agua es pequeña, del orden de 1 cm, de modo que la gota de tinta alcanza el fondo del recipiente rápidamente y el movimiento de la tinta está determinado por el proceso de difusión únicamente.

El proceso de difusión bidimensional de la tinta en el agua se describe mediante la siguiente ecuación.

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}n}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial n}{\partial r}=\frac{1}{D}\frac{\partial n}{\partial t}}$

donde D es el coeficiente de difusión de la tinta en agua y n es la concentración de tinta.

En el instante inicial t=0, la tinta está distribuida homogéneamente en el agua dentro de un círculo de radio a. n=n0 para r≤a n=0 para r>a

La solución de la ecuación diferencial es (véase el artículo citado en las referencias)

${\displaystyle n(r,t)=\frac{n_0}{2Dt}\exp \left(\frac{-r^2}{4Dt}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\exp }\left(\frac{-z^2}{4Dt}\right){\text{·I}}_{\text{0}}\left(\frac{r·z}{2Dt}\right)·z·dz}$

donde I₀(x) es la función modificada de Bessel de orden cero. Haciendo el cambio de variable

${\displaystyle x=\frac{r}{a}\zeta =\frac{z}{a}\tau =\frac{Dt}{a^2}}$

Obtenemos la ecuación

${\displaystyle \frac{n(x,\tau )}{n_0}=\frac{1}{2\tau }\exp \left(\frac{-x^2}{4\tau }\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\exp }\left(\frac{-{\zeta }^2}{4\tau }\right)·{\text{I}}_{\text{0}}\left(\frac{x·\zeta }{2\tau }\right)·\zeta ·d\zeta }$

que es independiente del radio a de la gota y del coeficiente de difusión D de la tinta en el agua.

En la figura, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo) para el instante τ=0.02. Conocido el valor del coeficiente de difusión D y el radio inicial de la gota a, podemos determinar la concentración n(r, t) de tinta a una distancia r=x·a del centro de la gota en el instante t=a2·τ/D

El programa es incapaz de calcular la concentración en función de la distancia x para un tiempo inferior a τ =0.003.

Como comprobación se puede verificar que

la cantidad total de tinta permanece constante, de modo que la integral

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{n(x,\tau )}{n_0}2\pi ·x·dx}=\pi ·1^2·1=\pi }$

que es proporcional a la cantidad inicial de tinta contenida en un círculo de radio unidad.

Actividades

Se introduce

• El tiempo τ actuando en la barra de desplazamiento titulada tiempo, o introduciendo un número mayor que 0.003 en el control de edición.

Se pulsa el botón titulado Gráfica

A la derecha del applet, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n₀ en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo). A la izquierda, se representa la concentración relativa en función de x codificada en una escala de grises.

DifusionApplet3 aparacerá en un explorador compatible con JDK 1.1

Referencias

Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in water. Eur. J. Phys. 25. (2004) pp. 331-336.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García