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Difusión bidimensional. Gota de tinta

Una gota de tinta de radio a se pone en un recipiente de agua de radio R, siendo a<<R. La profundidad del agua es pequeña, del orden de 1 cm, de modo que la gota de tinta alcanza el fondo del recipiente rápidamente y el movimiento de la tinta está determinado por el proceso de difusión únicamente.

El proceso de difusión bidimensional de la tinta en el agua se describe mediante la siguiente ecuación.

2 n r 2 + 1 r n r = 1 D n t

donde D es el coeficiente de difusión de la tinta en agua y n es la concentración de tinta.

En el instante inicial t=0, la tinta está distribuida homogéneamente en el agua dentro de un círculo de radio a.

n=n0 para r≤a
n
=0 para r>a

 

La solución de la ecuación diferencial es (véase el artículo citado en las referencias)

n(r,t)= n 0 2Dt exp( r 2 4Dt ) 0 a exp ( z 2 4Dt ) ·I 0 ( r·z 2Dt )·z·dz

donde I0(x) es la función modificada de Bessel de orden cero. Haciendo el cambio de variable

x= r a ζ= z a τ= Dt a 2

Obtenemos la ecuación

n(x,τ) n 0 = 1 2τ exp( x 2 4τ ) 0 1 exp ( ζ 2 4τ )· I 0 ( x·ζ 2τ )·ζ·dζ

que es independiente del radio a de la gota y del coeficiente de difusión D de la tinta en el agua.

En la figura, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo) para el instante τ=0.02.

Conocido el valor del coeficiente de difusión D y el radio inicial de la gota a, podemos determinar la concentración n(r, t) de tinta a una distancia r=x·a del centro de la gota en el instante t=a2·τ/D

El programa es incapaz de calcular la concentración en función de la distancia x para un tiempo inferior a τ =0.003.

Como comprobación se puede verificar que

la cantidad total de tinta permanece constante, de modo que la integral

0 n(x,τ) n 0 2π·x·dx =π· 1 2 ·1=π

que es proporcional a la cantidad inicial de tinta contenida en un círculo de radio unidad.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Gráfica

A la derecha del applet, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo). A la izquierda, se representa la concentración relativa en función de x codificada en una escala de grises.

DifusionApplet3 aparacerá en un explorador compatible con JDK 1.1

Referencias

Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in water. Eur. J. Phys. 25. (2004) pp. 331-336.

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