Errores en las medidas

Medidas directas

Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x₁, x₂, ... x_n se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio <x>, que viene dado por

$< x > = \frac{x_{1} + x_{2} + ... x_{n}}{n} = \frac{\sum_{1}^{n} x_{i}}{n}$

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por

$Δ x = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} {(x_{i} - < x >)}^{2}}{n (n - 1)}}$

El resultado del experimento se expresa como

<x>±Δx y la unidad de medida

La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Ejemplos:

El siguiente applet se puede utilizar para calcular el valor medio de una serie de medidas y el error cuadrático. Se introduce cada una de las medidas en el control área de texto del applet, y se pulsa RETORNO, de este modo las medidas aparecen en una columna. A continuación, se pulsa el botón titulado Calcular. El botón titulado Borrar limpia el área de texto y lo prepara para la introducción de otra serie de medidas.

Si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará así

0.64±0.01 A

Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

$< t > = \frac{6.3 + 6.2 + 6.4 + 6.2}{4} = 6.275 s$

El error cuadrático será

$Δ t = \sqrt{\frac{{(6.3 - 6.275)}^{2} + {(6.2 - 6.275)}^{2} + {(6.4 - 6.275)}^{2} + {(6.2 - 6.275)}^{2}}{4 \cdot 3}}$

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Δt=0.05 s. Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es

t=6.3±0.1 s

Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como

t=6.0±0.2 s

Error absoluto y error relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir

$e = \frac{Δ x}{< x >}$

donde <x> se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo.

El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.